Bonjour, pourriez vous me dire comment résoudre l'équation
x ^ ( 1/2 ) - 2x ^ ( -1/2 ) - 3 > 0
Merci
x ^ ( 1/2 ) - 2x ^ ( -1/2 ) - 3 > 0
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Bonsoir,Soit l'inéquation dans ℝ⁺* suivante : x^(1/2)-2x^(-1/2)-3 > 0
D'où √x-(2/√x)-3 > 0
(x/√x)-(2/√x)-(3√x/√x) > 0
(x-2-3√x)/√x > 0
Or sur ℝ⁺*, √x > 0
D'où le signe de (x-2-3√x)/√x dépend du signe de x-2-3√x
On a alors x-2-3√x > 0
x-3√x-2 > 0
On pose X = √x ∈ℝ⁺*
On a alors X²-3X-2 > 0
On pose l'équation X²-3X-2 = 0 dans ℝ⁺*
Δ = (-3)²-4(1)(-2) = 17 > 0
D'où X = (3-√17)/2 ou X = (3+√17)/2
Or (3-√17)/2 < 0, ainsi X ≠ (3-√17)/2
D'où X²-3X-2 = 0 ⇒ X = (3+√17)/2
Le coefficient dominant de la fonction polynôme p(x) ≔ x²-3x-2 est 1, et est alors strictement positif, d'où la fonction p est positive à l'extrémité de ses racines, or p n'admet qu'une seule racine réelle strictement positive
D'où X²-3X-2 > 0 ⇒ X > (3+√17)/2
Or X = √x
D'où x-3√x-2 > 0
√x > (3+√17)/2
x > ((3+√17)/2)²
x > (3+√17)²/(2²)
x > (9+6√17+17)/4
x > (26+6√17)/4
x > (13+3√17)/2
Donc x^(1/2)-2x^(-1/2)-3 > 0 ⇒ x > (13+3√17)/2