Bonjour, j'ai un exercice a faire en DM et j'arrive vraiment pas. est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Dans l’activité 3, on a conjecturer que le nombre irrationnel racine de 2 est la limite d'une suite de nombre rationnels.
On se propose, dans cet exercice, de démontrer cette conjecture.
f est la fonction définie sur R* par :
f(x)=1/2 (x + 2/x)
1)a) Justifier que la fonction f est derivable pour tout x de R*
b) Démontrer que pour tout x de R*:
f'(x) =( (x- racine de 2)(x+ racine de 2)) / 2x²
déduisez en le tableau de variation de f sur R*
2) La suite (Un) est définie par Uo= 3/2 et pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)
a) Calculer U1 et U2. ( Donnez les résultats sous la forme de fraction, puis sous forme décimale arrondie à 10^-5.
b) Démonter par récurrence que pour tout entier naturel n, racine de 2 < Un+1< Un
Déduisez en que la suite (Un) est convergente
c) Démontrez que pour tout n de N,
U + racine de 2 < 1/2 ( U - racine de 2)
n+1 n
d) Déduisez en par récurrence que pour tout n de N
0< U - racine de 2 n 0
e) Déduisez en lim lorsque n tend vers +infini de Un
Merci beaucoup
Dans l’activité 3, on a conjecturer que le nombre irrationnel racine de 2 est la limite d'une suite de nombre rationnels.
On se propose, dans cet exercice, de démontrer cette conjecture.
f est la fonction définie sur R* par :
f(x)=1/2 (x + 2/x)
1)a) Justifier que la fonction f est derivable pour tout x de R*
b) Démontrer que pour tout x de R*:
f'(x) =( (x- racine de 2)(x+ racine de 2)) / 2x²
déduisez en le tableau de variation de f sur R*
2) La suite (Un) est définie par Uo= 3/2 et pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)
a) Calculer U1 et U2. ( Donnez les résultats sous la forme de fraction, puis sous forme décimale arrondie à 10^-5.
b) Démonter par récurrence que pour tout entier naturel n, racine de 2 < Un+1< Un
Déduisez en que la suite (Un) est convergente
c) Démontrez que pour tout n de N,
U + racine de 2 < 1/2 ( U - racine de 2)
n+1 n
d) Déduisez en par récurrence que pour tout n de N
0< U - racine de 2 n 0
e) Déduisez en lim lorsque n tend vers +infini de Un
Merci beaucoup
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Bonjour,1)a) f(x) = x/2 + 1/x somme de fonctions dérivables sur Df.
1)b) f'(x) = 1/2 - 1/x^2
= 1/2x^2 (x^2 - 2)
= 1/2x^^2 (x - V(2))(x + V(2))
x -infini -V(2) 0 V(2) +infini
f'(x) + 0 - || - 0 +
f(x) crois. | décr. || décr. | crois.
f(V(2)) = 1/2(V(2) + 2/V(2)) = 1/2(2V(2)) = V(2)
2)
U0 = 3/2
Un+1 = f(Un)
a) U1 = 1/2(3/2 + 4/3) = 1/2 x 17/6 = 17/12 = 1,41666
U2 = 1/2(17/12 + 24/17) = 1/2 x 577/204 = 577/408 = 1,41421568
b)
Au rang n=1
Un = U1 = 17/12
Un+1 = U2 = 577/408
On vérifie bien que :
V(2) < Un+1 < Un (V(2) = 1,41421356
On suppose que la propriété est vraie au rang n.
Soit V(2) < Un+1 < Un
Un+2 = f(Un+1)
Et Un+1 > V(2)
Or f est croissante sur [V(2), +infini[
==> f(V2) < f(Un+1) < f(Un)
Soit V(2) < Un+2 < Un+1
==> hérédité démontrée
V(2) < Un+1 < Un ==> (Un) est convergente (décroissante et bornée)
c) comprends par la formule à démontrer ??
Un + V(2) > Un+1 + V(2) > 2V(2)
Un+1 + V(2) = Un/2 + 1/Un
Tu peux repréciser l'inégalité à démontrer ?