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Ex2 Dérivée n-ième d'une fonction fest la fonction définie sur R par f(x) = (1 - 2x)e^(2x) On définit les dérivées successives de f par : f(¹) = f' et pour tout entier naturel n>=1, f(n+1) = (f(n))'. 1. Montrer par récurrence que pour tout réel x et tout entier naturel n non nul: f(n)(x) = 2^n(1-n-2x)e^(2x) 2. Pour tout entier naturel n non nul, la courbe repré- sentative de f(n), dans un repère, admet une tan- gente parallèle à l'axe des abscisses en un point Mn a) Calculer les coordonnées (xn, yn) de Mn. b) Vérifier que la suite (xn) est une suite arithmétique dont précisera le premier terme et la raison. c) Vérifier que la suite (yn) est une suite géométrique dont précisera le premier terme et la raison.
Ex2 Dérivée n-ième d'une fonction fest la fonction définie sur R par f(x) = (1 - 2x)e^(2x) On définit les dérivées successives de f par : f(¹) = f' et pour tout entier naturel n>=1, f(n+1) = (f(n))'. 1. Montrer par récurrence que pour tout réel x et tout entier naturel n non nul: f(n)(x) = 2^n(1-n-2x)e^(2x) 2. Pour tout entier naturel n non nul, la courbe repré- sentative de f(n), dans un repère, admet une tan- gente parallèle à l'axe des abscisses en un point Mn a) Calculer les coordonnées (xn, yn) de Mn. b) Vérifier que la suite (xn) est une suite arithmétique dont précisera le premier terme et la raison. c) Vérifier que la suite (yn) est une suite géométrique dont précisera le premier terme et la raison.
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