Pour tout entier naturel n, 7 * 3 ^ (5n) + 4 est divisible a) Émet fonction b) Dém proposition par 11.
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Pour démontrer que, pour tout entier naturel n, l'expression 7 * 3^(5n) + 4 est divisible par 11, nous allons utiliser le principe de l'induction mathématique.
a) Émettre une fonction :
1. **Cas de base** (n = 0) : Vérifions d'abord si l'expression est divisible par 11 lorsque n = 0. - 7 * 3^(5*0) + 4 = 7 * 3^0 + 4 = 7 * 1 + 4 = 7 + 4 = 11 Donc, dans le cas de base, l'expression est bien divisible par 11.
2. **Hypothèse d'induction** : Supposons maintenant que l'expression 7 * 3^(5n) + 4 est divisible par 11 pour un certain entier k, c'est-à-dire : 7 * 3^(5k) + 4 est divisible par 11.
3. **Étape d'induction** : Montrons que l'expression est également divisible par 11 lorsque n = k + 1. - 7 * 3^(5(k+1)) + 4 - 7 * 3^(5k+5) + 4 - 7 * (3^5k * 3^5) + 4 - 7 * 3^5k * 243 + 4 - 7 * 3^5k * 11 + 4 (car 243 = 11 * 22) - 7 * 3^5k * 11 + 44
Maintenant, nous pouvons voir que cette expression est divisible par 11, car elle est de la forme 7 * (quelque chose) * 11 + 44, ce qui est clairement un multiple de 11.
Par conséquent, puisque nous avons démontré que l'expression est divisible par 11 pour n = 0 (cas de base) et que si elle est divisible pour n = k, alors elle est aussi divisible pour n = k + 1 (étape d'induction), nous pouvons conclure que, pour tout entier naturel n, 7 * 3^(5n) + 4 est divisible par 11.
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a) Émettre une fonction :
1. **Cas de base** (n = 0) : Vérifions d'abord si l'expression est divisible par 11 lorsque n = 0.
- 7 * 3^(5*0) + 4 = 7 * 3^0 + 4 = 7 * 1 + 4 = 7 + 4 = 11
Donc, dans le cas de base, l'expression est bien divisible par 11.
2. **Hypothèse d'induction** : Supposons maintenant que l'expression 7 * 3^(5n) + 4 est divisible par 11 pour un certain entier k, c'est-à-dire :
7 * 3^(5k) + 4 est divisible par 11.
3. **Étape d'induction** : Montrons que l'expression est également divisible par 11 lorsque n = k + 1.
- 7 * 3^(5(k+1)) + 4
- 7 * 3^(5k+5) + 4
- 7 * (3^5k * 3^5) + 4
- 7 * 3^5k * 243 + 4
- 7 * 3^5k * 11 + 4 (car 243 = 11 * 22)
- 7 * 3^5k * 11 + 44
Maintenant, nous pouvons voir que cette expression est divisible par 11, car elle est de la forme 7 * (quelque chose) * 11 + 44, ce qui est clairement un multiple de 11.
Par conséquent, puisque nous avons démontré que l'expression est divisible par 11 pour n = 0 (cas de base) et que si elle est divisible pour n = k, alors elle est aussi divisible pour n = k + 1 (étape d'induction), nous pouvons conclure que, pour tout entier naturel n, 7 * 3^(5n) + 4 est divisible par 11.