1. Suposição por contraposição: Vamos supor que [tex]\(B\nsubseteq A\)[/tex]. Isso significa que existe um elemento x que pertence a B mas não pertence a A.
2. Implicação: Isso implica que x pertence a [tex]\(\overline{A}\)[/tex], o conjunto complementar de A.
3. Hipótese: Como assumimos que [tex]\(\overline{A}\subseteq \overline{B}\)[/tex], então x também deve pertencer a [tex]\(\overline{B}\)[/tex].
4. Contradição: No entanto, isso é uma contradição, pois um elemento não pode pertencer a um conjunto e ao seu complemento ao mesmo tempo.
5. Conclusão: Portanto, nossa suposição inicial de que [tex]\(B\nsubseteq A\)[/tex] deve estar errada, o que prova que [tex]\(\overline{A}\subseteq \overline{B}\Rightarrow B\subseteq A\)[/tex].
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O teorema afirma que se o complemento de A está contido no complemento de B, então B está contido em A, e conseguimos provar isso
Teoria dos conjuntos
Afirmação: [tex]\(\overline{A}\subseteq \overline{B}\Rightarrow B\subseteq A\)[/tex]
Prova:
1. Suposição por contraposição: Vamos supor que [tex]\(B\nsubseteq A\)[/tex]. Isso significa que existe um elemento x que pertence a B mas não pertence a A.
2. Implicação: Isso implica que x pertence a [tex]\(\overline{A}\)[/tex], o conjunto complementar de A.
3. Hipótese: Como assumimos que [tex]\(\overline{A}\subseteq \overline{B}\)[/tex], então x também deve pertencer a [tex]\(\overline{B}\)[/tex].
4. Contradição: No entanto, isso é uma contradição, pois um elemento não pode pertencer a um conjunto e ao seu complemento ao mesmo tempo.
5. Conclusão: Portanto, nossa suposição inicial de que [tex]\(B\nsubseteq A\)[/tex] deve estar errada, o que prova que [tex]\(\overline{A}\subseteq \overline{B}\Rightarrow B\subseteq A\)[/tex].
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