De fato é possível provar ambas as proposições descritas nos enunciados 25 e 26.
Combinações simples:
Seja o conjunto [tex]\sf A = \left\{a_1\:;\:a_2\:;\:...\:;\:a_n\right\}[/tex] finito, com seus elementos distintos entre si, com [tex]\sf n \in \mathbb{N}[/tex] e n ≥ 1. Seja também [tex]\sf p[/tex] a quantidade de elementos dos subconjuntos de [tex]\sf A[/tex] que desejamos contar, onde n ≥ p. Definimos como uma combinação simples de [tex]\sf n[/tex] elementos tomados de [tex]\sf p[/tex] a [tex]\sf p[/tex], denotado como [tex]\sf C_{n\:;\:p}[/tex] a contagem de subconjuntos possíveis de [tex]\sf A[/tex] com [tex]\sf p[/tex] elementos, de modo que a ordem destes elementos não cria uma família diferente. Desse modo, temos que:
O objetivo é provar que, para qualquer [tex]\sf 2 \leq n \in \mathbb{N}[/tex], um conjunto com n elementos tem n(n - 1)/2 subconjuntos que contêm exatamente 2 elementos.
Como os elementos são tomados 2 a 2 dentro de um conjunto de n elementos em que a ordem não importa, utilizamos da fórmula da combinação simples, descrita em (i), tal que p seria igual a 2, e n permaneceria sendo n:
O objetivo é provar que, para qualquer [tex]\sf 3 \leq n \in \mathbb{N}[/tex], um conjunto com n elementos tem n(n - 1)(n - 2)/6 subconjuntos que contêm exatamente 3 elementos.
De forma análoga ao exercício 25, temos que os elementos são tomados 3 a 3 dentro de um conjunto de n elementos em que a ordem não importa. Sendo assim, utilizamos da fórmula da combinação simples, descrita em (i), tal que p seria igual a 3, e n permaneceria sendo n:
Lista de comentários
De fato é possível provar ambas as proposições descritas nos enunciados 25 e 26.
Combinações simples:
[tex]\Large\text{${\sf C_{n\:;\:p} = \dfrac{n!}{p!\left(n - p\right)!} ~~~~~~\left(i\right)}$}[/tex]
Resolvendo as questões propostas:
25)
O objetivo é provar que, para qualquer [tex]\sf 2 \leq n \in \mathbb{N}[/tex], um conjunto com n elementos tem n(n - 1)/2 subconjuntos que contêm exatamente 2 elementos.
Como os elementos são tomados 2 a 2 dentro de um conjunto de n elementos em que a ordem não importa, utilizamos da fórmula da combinação simples, descrita em (i), tal que p seria igual a 2, e n permaneceria sendo n:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ C_{n\:;\:p} = \dfrac{n!}{p!\left(n - p\right)!} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ C_{n\:;\:2} = \dfrac{n!}{2!\left(n - 2\right)!} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ C_{n\:;\:2} = \dfrac{n \cdot \left(n - 1\right) \cdot \left(n - 2\right)!}{2\left(n - 2\right)!} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ C_{n\:;\:2} = \dfrac{n \cdot \left(n - 1\right) }{2} }$}[/tex]
Conforme queríamos demonstrar! =D
26)
O objetivo é provar que, para qualquer [tex]\sf 3 \leq n \in \mathbb{N}[/tex], um conjunto com n elementos tem n(n - 1)(n - 2)/6 subconjuntos que contêm exatamente 3 elementos.
De forma análoga ao exercício 25, temos que os elementos são tomados 3 a 3 dentro de um conjunto de n elementos em que a ordem não importa. Sendo assim, utilizamos da fórmula da combinação simples, descrita em (i), tal que p seria igual a 3, e n permaneceria sendo n:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ C_{n\:;\:p} = \dfrac{n!}{p!\left(n - p\right)!} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ C_{n\:;\:3} = \dfrac{n!}{3!\left(n - 3\right)!} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ C_{n\:;\:3} = \dfrac{n \cdot \left(n - 1\right) \cdot \left(n - 2\right) \cdot \left(n - 3\right)!}{6\left(n - 3\right)!} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ C_{n\:;\:3} = \dfrac{n \cdot \left(n - 1\right) \cdot \left(n - 2\right)}{6} }$}[/tex]
Conforme queríamos demonstrar! =D
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Bons estudos.
Espero ter ajudado❤.
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