A integral dupla ∫∫R (2x - y²) dA calcula a integral da função (2x - y²) em uma região R do plano xy.

Para resolver essa integral, primeiro precisamos determinar os limites de integração em x e y. Como a região R é triangular e definida pelas retas y = -x + 1, y = x + 1 e y = 3, podemos escolher os limites de integração como:

x: de -1 a 1 (limite de integração da reta y = -x + 1)

y: de 1 a 3 (limite de integração entre as retas y = -x + 1 e y = 3)

Assim, a integral dupla fica:

∫∫R (2x - y²) dA = ∫ de -1 até 1 ∫ de 1 até 3 (2x - y²) dy dx

Podemos integrar primeiro em relação a y, mantendo x como constante:

∫ de -1 até 1 ∫ de 1 até 3 (2x - y²) dy dx = ∫ de -1 até 1 [2x(y) - (y³/3)] de 1 até 3 dx

Simplificando:

∫ de -1 até 1 [2x(y) - (y³/3)] de 1 até 3 dx = ∫ de -1 até 1 [6x - 26/3] dx

Integrando em relação a x:

∫ de -1 até 1 [6x - 26/3] dx = [3x² - 26/3x] de -1 até 1 = (-68/3)

Portanto, a alternativa correta é a 2: -68/3.