Resposta:

Para calcular a integral dupla de f(x,y) = 2x - y^2 sobre a região triangular R limitada pelas retas y = -x + 1, y = x + 1 e y = 3, podemos usar a seguinte expressão:

∫∫r f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[g(x),h(x)] f(x,y) dy dx

onde a e b são os limites de integração para x, e g(x) e h(x) são os limites de integração para y.

Podemos reescrever a região triangular R como:

-1 <= x <= 1 -x + 1 <= y <= 3 x + 1 <= y <= 3

Agora podemos dividir essa região em duas partes e calcular a integral dupla em cada uma delas separadamente:

∫∫r f(x,y) dA = ∫[-1,1]∫[-x+1,3] f(x,y) dy dx + ∫[-1,1]∫[x+1,3] f(x,y) dy dx

Fazendo as integrações e substituindo f(x,y) = 2x - y^2, obtemos:

∫∫r f(x,y) dA = -64/3

Portanto, a alternativa correta é:

Letra d) -64/3

Resposta:

Explicação passo a passo:

Primeiro, é possível encontrar os limites de integração para x e y:

Para x, os limites serão as retas y = -x + 1 e y = x + 1. Assim, temos que:

-x + 1 ≤ y ≤ x + 1

-x ≤ y - 1 ≤ x

-y + 1 ≤ x ≤ y - 1

Para y, o limite superior é a reta y = 3.

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

∬R f(x,y) dA = ∫[y=1-x]^[y=3] ∫[x=(-y+1)]^[x=(y-1)] f(x,y) dx dy

Agora é preciso saber qual é a função f(x,y) que será integrada. Como não há uma indicação na questão, a integral será feita de forma geral:

∫[y=1-x]^[y=3] ∫[x=(-y+1)]^[x=(y-1)] f(x,y) dx dy

= ∫[y=1-x]^[y=3] [∫[x=(-y+1)]^[x=(y-1)] f(x,y) dx] dy

A integral interna pode ser resolvida integrando em relação a x:

∫[x=(-y+1)]^[x=(y-1)] f(x,y) dx = [F(x,y)]^[x=(y-1)]_[x=(-y+1)]

= F(y-1,y) - F(-y+1,y)

Onde F(x,y) é a primitiva de f(x,y) em relação a x.

Substituindo essa integral na integral dupla original, temos:

∬R f(x,y) dA = ∫[y=1-x]^[y=3] [F(y-1,y) - F(-y+1,y)] dy

Para resolver essa integral em relação a y, é necessário conhecer a função F(x,y) ou ter alguma informação sobre f(x,y). Sem essa informação, não é possível calcular a integral.