DM niveau Terminale S : suite numériques Bonjour ! J'ai un DM à rendre la semaine prochaine et je fais appel à votre aide car je bloque.
L’énoncé se trouve en pièce jointe.
Réponses :
1. En choisissant a = 2 et b = 5, je trouve :
u(1) =4
u(2) =7
u(3) =8,5
u(4) =9,25
u(5) =77/8
u(6) =157/16
u(7) =317/32
u(8) =637/64
La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; 18[
f<ℓ sur ]-∞ ; 10[ et f = ℓ pour {10} et f>ℓ sur ]10 ; +∞[
2. Je choisis u(0) = 50.
u(1) =30
u(2) =20
u(3) =15
u(4) =12,5
u(5) =11,25
u(6) =85/8
u(7) =165/16
u(8) =325/32
La fonction f est alors continue et strictement décroissante sur [0 ; 18[.
3. Là ça commence à être plus délicat étant donné que j'ai encore du mal avec les récurrences. J'ai bidouillé un peu (en m'aidant notamment d'autres exercices) et voilà ce que ça donne :
Pour tout n ∈ IN, P(n) « u(n) ≤ u(n+1) »
INITIALISATION :
Pour n = 0, u(0) = -2 et u(0+1) = (½) * (-2) + 5 = 4
Comme -2 ≤ 4 soit u(0) ≤ u(0+1), alors P(0) est vraie.
HÉRÉDITÉ :
Soit k ∈ IN, on suppose que P(k+1) « u(k) ≤ u(k+1) » est vraie.
On veut montrer que P(k+1) « u(k+1) ≤ u(k+2) » est vraie.
D'après la définition de la suite, u(k+1) = f(u(k)) or u(k) ≤ u(k+1) d'après l'hypothèse de récurrence.
Comme on sait que f est strictement croissant sur [0 ; 18[ et que -2 ≤ 4 nous avons f(-2) ≤ f(4)...
Je tâtonne à l'aveugle, ce qui fait que après, je suis bloquée dans ma récurrence. Mais si j'ai bon jusqu'ici, ça voudrait alors dire que la seconde récurrence serait quasiment la même, avec pour seules différences que u(0) = 50 et que P(n) « u(n) ≥ u(n+1) »
De plus, pour la suite de la question 4, à savoir « démontrer les conjectures concernant les positions de u(n) par rapport à ℓ... » je voudrais bien avoir de l'aide.
Merci d'avance et passez une bonne journée !
L’énoncé se trouve en pièce jointe.
Réponses :
1. En choisissant a = 2 et b = 5, je trouve :
u(1) =4
u(2) =7
u(3) =8,5
u(4) =9,25
u(5) =77/8
u(6) =157/16
u(7) =317/32
u(8) =637/64
La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; 18[
f<ℓ sur ]-∞ ; 10[ et f = ℓ pour {10} et f>ℓ sur ]10 ; +∞[
2. Je choisis u(0) = 50.
u(1) =30
u(2) =20
u(3) =15
u(4) =12,5
u(5) =11,25
u(6) =85/8
u(7) =165/16
u(8) =325/32
La fonction f est alors continue et strictement décroissante sur [0 ; 18[.
3. Là ça commence à être plus délicat étant donné que j'ai encore du mal avec les récurrences. J'ai bidouillé un peu (en m'aidant notamment d'autres exercices) et voilà ce que ça donne :
Pour tout n ∈ IN, P(n) « u(n) ≤ u(n+1) »
INITIALISATION :
Pour n = 0, u(0) = -2 et u(0+1) = (½) * (-2) + 5 = 4
Comme -2 ≤ 4 soit u(0) ≤ u(0+1), alors P(0) est vraie.
HÉRÉDITÉ :
Soit k ∈ IN, on suppose que P(k+1) « u(k) ≤ u(k+1) » est vraie.
On veut montrer que P(k+1) « u(k+1) ≤ u(k+2) » est vraie.
D'après la définition de la suite, u(k+1) = f(u(k)) or u(k) ≤ u(k+1) d'après l'hypothèse de récurrence.
Comme on sait que f est strictement croissant sur [0 ; 18[ et que -2 ≤ 4 nous avons f(-2) ≤ f(4)...
Je tâtonne à l'aveugle, ce qui fait que après, je suis bloquée dans ma récurrence. Mais si j'ai bon jusqu'ici, ça voudrait alors dire que la seconde récurrence serait quasiment la même, avec pour seules différences que u(0) = 50 et que P(n) « u(n) ≥ u(n+1) »
De plus, pour la suite de la question 4, à savoir « démontrer les conjectures concernant les positions de u(n) par rapport à ℓ... » je voudrais bien avoir de l'aide.
Merci d'avance et passez une bonne journée !
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