Para acharmos o inverso da função [tex]f(x) = \frac{2 - x}{3x - 1}[/tex], vamos começar trocando o f(x) por y, para que nosso entendimento fique claro.
Teremos, então:
[tex]y = \frac{2 - x}{3x - 1}[/tex]
Agora, nosso próximo passo é trocar o y por x e vice-versa da seguinte maneira:
[tex]x = \frac{2 - y}{3y - 1}[/tex]
Certo, agora que invertemos os nossos x e y, precisamos entender que debaixo do x existe um número 1, vamos inseri-lo na função.
Assim, teremos:
[tex]\frac{x}{1} = \frac{2 - y}{3y - 1}[/tex]
Agora, com a função estruturada dessa maneira podemos fazer uma multiplicação cruzada entre os termos.
x (3y - 1) = 2 - y
3yx - 1x = 2 - y ---> aqui vamos separar os termos que têm y dos que não têm
3xy + y = 1x + 2 ---> com o y, simplificaremos por fator comum em evidência
y (3x + 1) = 1x + 2 ---> agora podemos passar o termo sendo multiplicado pelo y da esquerda para direita, dessa forma, será dividido pelo 1x + 2
A função inversa de f(x) e indicamos por [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf f^{-1}(x) $ }[/tex]. A função tal que [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf f^{-1} (y) = x \Longleftrightarrow f(x) = y $ }[/tex].
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Resposta:
[tex]y = \frac{x + 2}{3x + 1}[/tex]
Explicação passo a passo:
Para acharmos o inverso da função [tex]f(x) = \frac{2 - x}{3x - 1}[/tex], vamos começar trocando o f(x) por y, para que nosso entendimento fique claro.
Teremos, então:
[tex]y = \frac{2 - x}{3x - 1}[/tex]
Agora, nosso próximo passo é trocar o y por x e vice-versa da seguinte maneira:
[tex]x = \frac{2 - y}{3y - 1}[/tex]
Certo, agora que invertemos os nossos x e y, precisamos entender que debaixo do x existe um número 1, vamos inseri-lo na função.
Assim, teremos:
[tex]\frac{x}{1} = \frac{2 - y}{3y - 1}[/tex]
Agora, com a função estruturada dessa maneira podemos fazer uma multiplicação cruzada entre os termos.
x (3y - 1) = 2 - y
3yx - 1x = 2 - y ---> aqui vamos separar os termos que têm y dos que não têm
3xy + y = 1x + 2 ---> com o y, simplificaremos por fator comum em evidência
y (3x + 1) = 1x + 2 ---> agora podemos passar o termo sendo multiplicado pelo y da esquerda para direita, dessa forma, será dividido pelo 1x + 2
y = (x + 2) / (3x + 1)
Assim, temos o inverso da função.
Verified answer
De acordo com os dados do enunciado solucionado concluímos que:
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f^{-1} (x) : \mathbb{R} - \left\{ -\:\dfrac{1}{3} \right \} \to \mathbb{R} - \left\{ \dfrac{1}{3} \right \} ~ dada ~ por ~y = \dfrac{x+2}{3x+1} } $ }[/tex]
A função inversa de f(x) e indicamos por [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf f^{-1}(x) $ }[/tex]. A função tal que [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf f^{-1} (y) = x \Longleftrightarrow f(x) = y $ }[/tex].
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = \dfrac{2-x}{3x-1} } $ }[/tex]
Solução:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = \dfrac{2-x}{3x-1} } $ }\:\: \gets \large \text {\sf trocando y por x e x por y }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \dfrac{2-y}{3y-1} } $ }\:\: \gets \large \text {\sf isolando y}[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x \cdot (3y -1) = 2-y } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{3xy - x =2-y } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3xy + y = x + 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y \cdot (3x + 1) = x+2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = \dfrac{x+2}{3x + 1} \quad com ~ x\neq -\; 1/3 }[/tex]
Dessa forma a inversa é:
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf f^{-1} (x) = \dfrac{x+2}{3x + 1} }[/tex]
Logo, [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf f^{-1} (x) : \mathbb{R} - \left\{ -\: \dfrac{1}{3} \right \} \to \mathbb{R} - \left\{\dfrac{1}{3} \right \} ~ dada ~ por ~y = \dfrac{x+2}{3x+1} $ }[/tex].
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