Resposta:

(a) T(x, y) = (x, y, 0)

(b) N(T) = {(0, 0)}, Im(T) = {(−1, 0, 1), (0, -1, 0)}

(c) T é injetora, mas não é sobrejetora.

Explicação:

(a) Para determinar T(x, y), onde (x, y) pertence a R^2, podemos usar a propriedade da linearidade da transformação linear. Sabemos que T é uma transformação linear e temos os valores de T para dois pontos específicos. Podemos usar essas informações para encontrar a matriz associada a T e, em seguida, usar essa matriz para encontrar T(x, y) para quaisquer outros pontos (x, y) em R^2.

Podemos começar encontrando a matriz associada a T usando os valores dados:

T(-2, 3) = (-1, 0, 1)

T(1, -2) = (0, -1, 0)

A matriz associada a T é formada pelas coordenadas dos vetores imagem em relação à base canônica de R^3. Portanto, temos:

[1, 0]

[0, -1]

[1, 0]

Agora, podemos usar essa matriz para encontrar T(x, y) para qualquer (x, y) em R^2. Multiplicamos a matriz associada a T pelo vetor coluna (x, y):

T(x, y) = [1, 0] * [x] = [x]

          [0, -1]   [y]   [y]

          [1, 0]     [0]   [0]

Então, T(x, y) = (x, y, 0).

(b) Para determinar N(T) (núcleo ou kernel de T) e Im(T) (imagem de T), precisamos encontrar os vetores que são mapeados para o vetor nulo (0, 0, 0) e os vetores imagem de T, respectivamente.

N(T) é o conjunto de vetores (x, y) em R^2 que são mapeados para (0, 0, 0) pela transformação linear T. Para encontrar N(T), resolvemos a equação T(x, y) = (0, 0, 0):

T(x, y) = (x, y, 0) = (0, 0, 0)

Isso nos dá o sistema de equações:

x = 0

y = 0

A solução desse sistema é (0, 0). Portanto, N(T) = {(0, 0)}.

Im(T) é o conjunto de todos os vetores imagem possíveis de T. A partir das informações dadas, podemos ver que Im(T) é o espaço gerado pelos vetores imagem T(-2, 3) e T(1, -2). Portanto, Im(T) = {(−1, 0, 1), (0, -1, 0)}.

(c) Para verificar se T é injetora (ou injetiva), precisamos verificar se cada vetor imagem em R^3 é mapeado para por no máximo um vetor de R^2. Como os vetores imagem T(-2, 3) e T(1, -2) são diferentes, podemos concluir que T é injetora.

Para verificar se T é sobrejetora (ou sobrejetiva), precisamos verificar se cada vetor em R^3 tem pelo menos um vetor pré-imagem em R^2. Como os vetores imagem T(-2, 3) e T(1, -2) não abrangem todo o espaço R^3, podemos concluir que T não é sobrejetora.

Em resumo:

(a) T(x, y) = (x, y, 0)

(b) N(T) = {(0, 0)}, Im(T) = {(−1, 0, 1), (0, -1, 0)}

(c) T é injetora, mas não é sobrejetora.