Esta matriz [T]_{A,B} = [[2, 1], [-1, 3]] representa a transformação das coordenadas da base A para a base B sob o operador linear T.

Transformação linear

Para determinar a matriz associada ao operador linear T em relação às bases A e B, precisamos encontrar as imagens dos vetores de base sob T e expressar essas imagens como combinações lineares dos vetores de base de B.

Vamos começar encontrando a imagem do primeiro vetor de base (1,0) sob T:

T(1,0) = (1+0, 4(1)+7(0)) = (1, 4)

Para expressar esta imagem como uma combinação linear dos vetores de base de B, precisamos encontrar escalares a e b tais que:

(1, 4) = a(1, 3) + b(2, 5)

Igualando os componentes correspondentes, obtemos duas equações:

1 = a + 2b

4 = 3a + 5b

Resolvendo este sistema de equações, encontramos a = 2 e b = -1.

Em seguida, vamos encontrar a imagem do segundo vetor de base (0,1) sob T:

T(0,1) = (0+1, 4(0)+7(1)) = (1, 7)

Novamente, expressamos esta imagem como uma combinação linear dos vetores de base de B:

(1, 7) = a(1, 3) + b(2, 5)

Igualando os componentes correspondentes, obtemos duas equações:

1 = a + 2b

7 = 3a + 5b

Resolvendo este sistema de equações, encontramos a = 1 e b = 3.

Portanto, a matriz associada ao operador linear T em relação às bases A e B é:

[T]_{A,B} = [[2, 1], [-1, 3]]

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