✅ A integral de linha sobre a curva C do item a) resulta em I = 0. Sobre a curva C do item b) resulta em I = π.

☁️ Integral de linha sobre uma curva plana: Seja [tex] \rm \overset{\rightarrow}{F}(x,y) [/tex] um campo vetorial no plano de classe [tex] \rm \mathcal{C}^1 [/tex] e [tex] \rm \gamma [/tex] uma curva suave por partes, simples definida em um intervalo [tex] \rm [a,b]\subset \mathbb{R} [/tex]. Então

[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm \int\limits_{\gamma} \overset{\rightarrow}{F}\cdot d\overset{\rightarrow}{r} = \int\limits_{a}^{b} \left\langle (\overset{\rightarrow}{F}\circ\gamma)(t) \,\bigg| \, \dot{\gamma}(t) \right\rangle dt \qquad}}} [/tex]

✍️ Solução: Seja [tex] \rm \overset{\rightarrow}{F}(x,y) = (-2xy, x^2+y^2) [/tex] campo vetorial. No item a), é necessário parametrizar a semicircunferência superior de [tex] \rm x^2 + y^2 = a^2 [/tex] tomando o sentido anti-horário, i.e.,

[tex] \large\rm C(t) = \left\{\begin{array}{lr}\rm x = a\cos(t) \\\rm y = a\sin(t) \end{array}\right.\quad\begin{array}{lr}\rm 0\leq t \leq \pi \end{array} [/tex]

Destarte, o vetor tangente é

[tex] \large\rm\dot{C}(t) = \left\{\begin{array}{lr}\rm \dot{x} = -a\sin(t) \\\rm \dot{y} = a\cos(t) \end{array}\right.\quad\begin{array}{lr}\rm 0\leq t \leq \pi \end{array} [/tex]

E a integral de linha sobre essa semicircunferência é

[tex]\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm I = \int\limits_{C} \overset{\rightarrow}{F}\cdot d\overset{\rightarrow}{r} &=\displaystyle\rm \int\limits_{0}^{\pi} [-2(a\cos t\cdot a\sin t)(-a\sin t)] +\\\\&+\rm [(a\cos t)^2+(a\sin t)^2]a\cos t\,dt \\\\&=\displaystyle\rm 2a^3\int\limits_{0}^{\pi} \sin^2t\cos t\,dt+a^3\int\limits_{0}^{\pi} \cos t\,dt\\\\&=\displaystyle\rm 2a^3\int\limits_{0}^{0}\sin^2t\,d(\sin t)\end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: I = 0 }}}}\end{array}[/tex]

No item b), é preciso, inicialmente, encontrar os raios da elipse. Para tanto, basta completar o quadrado em relação a [tex] \rm x [/tex]

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm x^2 - 2x + 4y^2 = 0 \Rightarrow \\\\\rm x^2 - 2x + 1 + 4y^2 = 1 \Rightarrow \\\\\rm \dfrac{(x-1)^2}{1} + \dfrac{y^2}{\tfrac{1}{4}} = 1 \end{array} [/tex]

A parametrização da elipse no sentido anti-horário é

[tex] \large\rm C(t) = \left\{\begin{array}{lr}\rm x = 1 + \cos(t) \\\rm y = \tfrac{1}{2}\sin(t) \end{array}\right.\quad\begin{array}{lr}\rm 0\leq t \leq \pi \end{array} [/tex]

logo, o vetor tangente é

[tex] \large\rm\dot{C}(t) = \left\{\begin{array}{lr}\rm \dot{x} = -\sin(t) \\\rm \dot{y} = \tfrac{1}{2}\cos(t) \end{array}\right.\quad\begin{array}{lr}\rm 0\leq t \leq \pi \end{array} [/tex]

e a integral de linha do campo dado sobre o pedaço de elipse é

[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm I=\int\limits_{C} \overset{\rightarrow}{F}\cdot d\overset{\rightarrow}{r}&=\displaystyle\rm \int_{0}^{\pi}[-2(1+\cos t)(\tfrac{1}{2}\sin t)](-\sin t)+\\\\&+\rm[(1+\cos t)^2+(\tfrac{1}{2}\sin t)^2](\tfrac{1}{2}\cos t)\,dt\\\\&=\displaystyle\rm\int_{0}^{\pi} \sin^2t(1+\cos t)\,dt+\\\\&\rm+\int_{0}^{\pi} \tfrac{1}{2}\cos t(1+2\cos t+\cos^2t+\tfrac{1}{4}\sin^2t)\\\\&=\displaystyle\rm\int_{0}^{\pi}\sin^2t\,dt+\int_{0}^{\pi}\sin^2t\cos t\,dt+\int_{0}^{\pi}\tfrac{1}{2}\cos t\,dt+\\\\&+\rm\int_{0}^{\pi}\cos^3t\,dt+\int_{0}^{\pi}\cos^2t\,dt+\int_{0}^{\pi}\tfrac{1}{8}\sin^2t\cos t\,dt\\\\&=\displaystyle\rm \int_{0}^{\pi}\sin^2t\,dt+\int_{0}^{\pi}\cos^2t\,dt\\\\&=\rm\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm\therefore\: I=\pi }}}}\end{array} [/tex]

✔️ As integrais de potências ímpares de co-seno são nulas. Já nas integrais de [tex] \rm \sin^2(t) [/tex] e [tex] \rm \cos^2(t) [/tex], basta reescrever ambas como sendo [tex] \rm \tfrac{1}{2}[1-\cos(2t)] [/tex] e [tex] \rm \tfrac{1}{2}[1+\cos(2t)] [/tex] respectivamente. Resolvi mais explicitamente nos anexos 2 e 3.

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre integrais de linha, cálculo 3, cálculo vetorial:

• brainly.com.br/tarefa/53757939

[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]