Resposta:

Para resolver a equação diferencial y" - 12y' + 36y = 0 com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 9, podemos usar o método da equação característica.

A equação característica associada à equação diferencial é dada por:

r^2 - 12r + 36 = 0

Podemos fatorar essa equação para encontrar suas raízes:

(r - 6)^2 = 0

Portanto, temos uma raiz dupla r = 6.

A solução geral da equação diferencial é então dada por:

y(t) = c1 * e^(6t) + c2 * t * e^(6t)

Usando as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 9, podemos encontrar os valores de c1 e c2:

y(0) = c1 * e^(6*0) + c2 * 0 * e^(6*0) = c1 = 1

y'(0) = 6c1 * e^(6*0) + c2 * (1 * e^(6*0) + 6 * 0 * e^(6*0)) = 6c1 + c2 = 9

Substituindo c1 = 1 na segunda equação:

6 * 1 + c2 = 9

c2 = 9 - 6

c2 = 3

Portanto, temos a solução particular da equação diferencial:

y(t) = e^(6t) + 3t * e^(6t)

Agora, podemos calcular o valor aproximado de y(1/4):

y(1/4) = e^(6 * 1/4) + 3 * (1/4) * e^(6 * 1/4)

y(1/4) ≈ 2.547

O valor aproximado de y(1/4) é aproximadamente 2.547.