Resposta:Para encontrar a solução particular da equação diferencial y'' - 6y' + 5y = 6 cos(x), podemos utilizar o método das variações das constantes.

A equação homogênea associada a essa equação diferencial é y'' - 6y' + 5y = 0. Podemos encontrar as soluções dessa equação homogênea resolvendo sua equação característica:

r^2 - 6r + 5 = 0.

Resolvendo a equação característica, obtemos as raízes r1 = 1 e r2 = 5.

A solução geral da equação homogênea é dada por y_h(x) = c1 * e^(x) + c2 * e^(5x), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas.

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa, considerando que a solução particular seja da forma y_p(x) = A * cos(x) + B * sin(x), onde A e B são constantes a serem determinadas.

Substituindo y_p(x) na equação diferencial original, temos:

y'' - 6y' + 5y = -A * cos(x) - B * sin(x).

Derivando y_p(x) duas vezes, obtemos:

y'' = -A * cos(x) - B * sin(x).

Substituindo na equação diferencial original, temos:

-A * cos(x) - B * sin(x) - 6(-A * sin(x) + B * cos(x)) + 5(A * cos(x) + B * sin(x)) = 6 cos(x).

Simplificando e agrupando os termos semelhantes, temos:

(-6A + 5B + 6) * cos(x) + (-6B - 5A) * sin(x) = 6 cos(x).

Para que a igualdade seja válida para todo x, os coeficientes dos termos trigonométricos devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

-6A + 5B + 6 = 6,

-6B - 5A = 0.

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos A = -6/61 e B = -5/61.

Portanto, a solução particular da equação diferencial y'' - 6y' + 5y = 6 cos(x) é:

y_p(x) = (-6/61) * cos(x) - (5/61) * sin(x).

Explicação passo a passo: