A solução particular da equação diferencial é a soma das soluções homogênea e particular:

y(x) = (3/13)cos(x) - (9/13)sen(x) = 0,46 cos(x) - 0,69 sen(x)

Método dos coeficientes indeterminados

Para encontrar a solução particular da equação diferencial dada, usaremos o método dos coeficientes indeterminados. A solução homogênea da equação diferencial é encontrada definindo o lado direito igual a zero:

y'' - 6y' + 5 = 0

A equação característica é obtida assumindo uma solução da forma y = e^(rt), onde r é uma constante:

r² - 6r + 5 = 0

Fatorando a equação, obtemos:

(r - 5)(r - 1) = 0

Portanto, as raízes são r = 5 e r = 1. Isso significa que a solução homogênea é dada por:

y_h(x) = C1e^(5x) + C2e^(x)

Para encontrar a solução particular, assumimos uma solução da forma:

y_p(x) = A cos(x) + B sen(x)

Agora, podemos substituir isso na equação diferencial original e resolver para A e B.

y'' - 6y' + 5y = 6 cos(x)

Diferenciando y_p(x):

y_p'(x) = -A sen(x) + B cos(x) ⇒ y_p''(x) = -A cos(x) - B sen(x)

Substituindo na equação diferencial:

(-A cos(x) - B sen(x)) - 6(-A sen(x) + B cos(x)) + 5(A cos(x) + B sen(x)) = 6 cos(x) )

Simplificando e reunindo termos semelhantes:

(-A - 6B + 5A) cos(x) + (-B + 6A + 5B) sen(x) = 6 cos(x)

Agora, igualamos os coeficientes de cos(x) e sen(x) em ambos os lados:

-A - 6B + 5A = 6

-B + 6A + 5B = 0

Simplificando essas equações, obtemos:

4A - 6B = 6 (equação 1)

6A + 4B = 0 (equação 2)

Multiplicando a equação 1 por 3 e a equação 2 por 2, podemos eliminar B:

12A - 18B = 18 (equação 3)

12A + 8B = 0 (equação 4)

Subtraindo a equação 4 da equação 3:

-26B = 18 ⇒ B = -18/26 ⇒ B = -9/13

Substituindo B de volta na equação 2:

6A + 4(-9/13) = 0 ⇒ 6A - 36/13 = 0 ⇒ 6A = 36/13 ⇒ A = (36/13)/6 ⇒ A = 3/13

Portanto, a solução particular da equação diferencial é:

y_p(x) = (3/13)cos(x) - (9/13)sen(x)

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