De acordo com os dados do enunciado e solucionado podemos afirmar que o número de termos da P.G dada é n = 7.

Progressão geométrica é toda sequência numérica de termos não nulos, na qual cada termo termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante ( razão ).

Exemplos:

[tex]\large \text {\sf a) ( 4, 12, 36, 180, ... ) {\'e} uma P.G de raz{\~a}o q = 3 }[/tex]

[tex]\large \text {\sf b) ( $ \sqrt{3} $, 0, 0, 0, ... ) {\'e} uma P.G de raz{\~a}o q = 0 }[/tex]

Representamos a constante por:

[tex]\Large\boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{a_4}{a_3} = \dotsi = \dfrac{a_n}{a_{n-1}} } $ } }[/tex]

Termos geral de uma progressão geométrica:

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} } $ } }[/tex]

Soma dos n primeiros termos de uma P.G:

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{S_n = \dfrac{a_1 \cdot ( q^{n} - 1) }{q- 1} } $ } } \quad \large \text {\sf com $ \sf q \neq 1 $ }[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf n = \:? \\ \sf a_1 = 4 \\\sf q = 3 \\\sf S_n = 4\: 372 \end{cases} } $ }[/tex]

Solução:

Utilizando a fórmula da soma da P.G, temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{S_n = \dfrac{a_1 \cdot ( q^{n} - 1) }{q- 1} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4\:372 = \dfrac{4 \cdot ( 3^{n} - 1) }{3- 1} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4\:372 = \dfrac{ \backslash\!\!\!{ 4}\:{}^{2} \cdot ( 3^{n} - 1) }{ \backslash\!\!\!{ 2}\:{}^{1} } } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4\:372 = 2 \cdot ( 3^{n} -1) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{4\:372}{2} =( 3^{n} -1) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (3^n - 1 ) = 2\:186 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3^{n} = 2\:186+1 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{3^{n} = 2\:187 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\backslash\!\!\!{3}^n = \backslash\!\!\!{3}^7 } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf n = 7 }[/tex]

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