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on avais posé:
ω=e∧i2π/5
on avait résolue l'équation 1+z+z²+z³+z∧4=0 et montré que ω était racine
à présent on pose : p=ω+ω(bare)
montrer que p²+p-1=0 (a l'aide de la première partie)
résoudre z²+z-1=0
en déduire cos(2π/5)
on avais posé:
ω=e∧i2π/5
on avait résolue l'équation 1+z+z²+z³+z∧4=0 et montré que ω était racine
à présent on pose : p=ω+ω(bare)
montrer que p²+p-1=0 (a l'aide de la première partie)
résoudre z²+z-1=0
en déduire cos(2π/5)
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ω=e∧i2π/5
on avait résolue l'équation 1+z+z²+z³+z∧4=0 et montré que ω était racine
à présent on pose : p=ω+ω/
montrer que p²+p-1=0
p=exp(2iπ/5)+exp(-2iπ/5)
p²=(exp(2iπ/5)+exp(-2iπ/5))²
=exp(4iπ/5)+2*exp(2iπ/5)*exp(-2iπ/5)+exp(-4iπ/5)
=exp(4iπ/5)+2+exp(-4iπ/5)
p²+p-1=exp(4iπ/5)+2+exp(-4iπ/5)+exp(2iπ/5)+exp(-2iπ/5)-1
=exp(4iπ/5)+exp(-4iπ/5)+exp(2iπ/5)+exp(-2iπ/5)+1
=1+exp(2iπ/5)+exp(4iπ/5)+exp(6iπ/5)+exp(8iπ/5)
=1+ω+ω²+ω³+ω^4
=0 (def de ω)
résoudre z²+z-1=0
delta=5
z=(-1-V5)/2 ou z=(-1+V5)/2
or z>0 donc z=(V5-1)/2
en déduire cos(2π/5)
p=exp(2iπ/5)+exp(-2iπ/5)
=2cos(2π/5) (formules d'EULER)
donc cos(2π/5)=p/2
donc cos(2π/5)=(V5-1)/4