Soit la suite:v(n) V0=1V(n=1)=9/(6-Vn)Démontrer par récurence 0(inf) Vn (inf)3Merci.... Pergunta de ideia deBernardditbidou

April 2019 1 176 Report

Soit la suite:v(n)
V0=1

V(n=1)=9/(6-Vn)

Démontrer par récurence 0(inf) Vn (inf)3

Merci

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Bonsoir,

1) Démontrons que v(n) < 3

a) Initialisation :
v(1) < 3 car v(1) = 1 < 3.

b) Hérédité :
Si v(n) < 3 , alors montrons que v(n+1) < 3.
En effet :
v(n) < 3 ==> -v(n) > -3
==> 6 - v(n) > 6 - 3
==> 6 - v(n) > 3
==> 1/(6 - v(n)) < 1/3 car la fonction inverse est décroissante sur R+
==> 9/(6 - v(n)) < 9/3
==> 9/(6 - v(n)) < 3
==> v(n+1) < 3

Ces deux démonstrations montrent par récurrence que v(n) < 3.

2) Démontrons que v(n) > 0

a) Initialisation :
v(1) > 0 car v(1) = 1 > 0.

b) Hérédité :
Si v(n) > 0 , alors montrons que v(n+1) > 0.
En effet :
v(n) > 0 ==> -v(n) < 0
==> 6 - v(n) < 6
==> 1/(6 - v(n)) > 1/6 car la fonction inverse est décroissante sur R+ (nous avons montré dans le point 1b) que 6 - v(n) > 3 ==> 6 - v(n) > 0)
==> 9/(6 - v(n)) > 9/6 > 0
==> 9/(6 - v(n)) > 0
==> v(n+1) > 0.

Ces deux démonstrations montrent par récurrence que v(n) > 0.

Conclusion : 0 < v(n) < 3.

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