soit la suite::v(0)=1
v(n+1)= 9/(6-v(n))
démontrer par recurence , 0 infv(n) inf 3
merci
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1) Démontrons que v(n) < 3
a) Initialisation :
v(1) < 3 car v(1) = 1 < 3.
b) Hérédité :
Si v(n) < 3 , alors montrons que v(n+1) < 3.
En effet :
v(n) < 3 ==> -v(n) > -3
==> 6 - v(n) > 6 - 3
==> 6 - v(n) > 3
==> 1/(6 - v(n)) < 1/3 car la fonction inverse est décroissante sur R+
==> 9/(6 - v(n)) < 9/3
==> 9/(6 - v(n)) < 3
==> v(n+1) < 3
Ces deux démonstrations montrent par récurrence que v(n) < 3.
2) Démontrons que v(n) > 0
a) Initialisation :
v(1) > 0 car v(1) = 1 > 0.
b) Hérédité :
Si v(n) > 0 , alors montrons que v(n+1) > 0.
En effet :
v(n) > 0 ==> -v(n) < 0
==> 6 - v(n) < 6
==> 1/(6 - v(n)) > 1/6 car la fonction inverse est décroissante sur R+ (nous avons montré dans le point 1b) que 6 - v(n) > 3 ==> 6 - v(n) > 0)
==> 9/(6 - v(n)) > 9/6 > 0
==> 9/(6 - v(n)) > 0
==> v(n+1) > 0.
Ces deux démonstrations montrent par récurrence que v(n) > 0.
Conclusion : 0 < v(n) < 3.