7. (UnB-DF) Conta uma lenda que o rei de certo país ficou tão impressio-
nado ao conhecer o jogo de xadrez que quis recompensar seu inventor,
dando-lhe qualquer coisa que ele pedisse. O inventor, então, disse ao
rei: "Dê-me simplesmente 1 grão de trigo pela primeira casa do tabulei-
ro, 2 grãos pela segunda casa, 4 grãos pela terceira, 8 grãos pela quarta
e assim sucessivamente, até a casa 64 do tabuleiro". O rei considerou o
pedido bastante simples e ordenou que fosse cumprido. Supondo que
um grão de trigo tem massa igual a 0,05 g e que a produção mundial de
trigo em 1997 foi de 560 milhões de toneladas, julgue os itens a seguir
como verdadeiros ou falsos.
( ) O número de grãos de trigo devido ao inventor apenas pela 11ª
casa do tabuleiro é menor que 1 000.
( ) Até a 30ª casa, seriam devidas ao inventor mais de 50 toneladas
de grãos.
( ) A quantidade de trigo devida apenas pela 31ª casa corresponde à
quantidade recebida até a 30ª casa acrescida de um grão.
() Seriam necessárias mais de 1 000 vezes a produção mundial de
trigo de 1997 para recompensar o inventor.
Lista de comentários
Resposta:
V, V, V, V
Explicação passo a passo:
Item 1) Verdadeiro. O número de grãos de trigo devido ao inventor apenas pela 11ª casa do tabuleiro é de 2¹⁰ = 1024, que pesa cerca de 51,2 g (1024 x 0,05 g), portanto, é menor que 1.000.
Item 2) Verdadeiro. Até a 30ª casa, seriam devidas ao inventor 2³⁰ - 1 = 1.073.741.823 grãos de trigo, que pesam cerca de 53.687.091,15 g, ou seja, mais de 50 toneladas.
Item 3) Verdadeiro. A quantidade de trigo devida apenas pela 31ª casa corresponde à quantidade recebida até a 30ª casa acrescida de um grão, ou seja, 2³⁰ - 1 + 2³⁰ = 2³¹ - 1 = 2.147.483.647 grãos, que pesam cerca de 107.374.182,35 g.
Item 4) Verdadeiro. A quantidade total de grãos de trigo devida ao inventor corresponde a 2^64 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615 grãos de trigo, que pesam cerca de 922.337.203.685.477 toneladas (18.446.744.073.709.551.615 x 0,05 g / 1.000.000.000.000), ou seja, mais de 1.000 vezes a produção mundial de trigo de 1997, que foi de 560 milhões de toneladas. Portanto, o item é verdadeiro.
Sobre a quantidade de grãos devida ao inventor do jogo de xadrez, as afirmações são:
1) falsa, pois o número de grãos devidos é 1024.
2) verdadeira, pois o peso devido é aproximadamente 53,7 toneladas.
3) verdadeira, pois a quantidade devida é 2³⁰ grãos.
4) verdadeira, pois seriam necessárias 1.647 vezes a produção mundial.
Progressão geométrica
O termo geral da P.G. é dado por:
aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
O número de grãos de trigo a serem recompensados a cada casa do tabuleiro forma uma PG de razão 2 e primeiro termo 1, ou seja:
aₙ = 1·2ⁿ⁻¹
aₙ = 2ⁿ⁻¹
Verificando as afirmações:
(Falsa) Para a 11ª casa, o número de grãos devidos é:
a₁₁ = 2¹¹⁻¹ = 2¹⁰ = 1024 > 1000
(Verdadeira) A soma dos 30 primeiros termos será:
Sₙ = a₁·(qⁿ - 1)/(q - 1)
S₃₀ = 1·(2³⁰ - 1)/(2 - 1)
S₃₀ = 2³⁰ - 1 grãos
Se cada grão tem massa de 0,05 g, o peso devido ao inventor é:
0,05g · (2³⁰ - 1) ≈ 53.687.091 g ≈ 53,7 t
(Verdadeira) A quantidade devida na 31ª casa é:
a₃₁ = 2³¹⁻¹ = 2³⁰
a₃₁ = S₃₀ + 1
(Verdadeira) A quantidade total devida ao inventor é:
S₆₄ = 1·(2⁶⁴ - 1)/(2 - 1)
S₆₄ = 2⁶⁴ - 1 grãos
A massa será:
0,05 g· (2⁶⁴ - 1) ≈ 922.337.203.685 t
922.337.203.685 t / 560.000.000 t ≈ 1.647 vezes
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