Sabe-se que a área sob a curva de uma função em um intervalo pode ser aproximada por retângulos, em particular por um retângulo de altura média, definido pelo teorema do valor médio. Ache o valor médio da função f(x)=√x no intervalo [1,4] e todos os pontos do intervalo nos quais o valor de f é igual ao valor médio. Assinale a alternativa correta.
A)1,5556 e 196/81.
B)-1,556 e 196/81.
C)-1 e 2.
D)1 e 2.
A)1,5556 e 196/81.
B)-1,556 e 196/81.
C)-1 e 2.
D)1 e 2.
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A) 1,5556 e 196/81.
Para calcular o valor médio da função f(x) = √x no intervalo [1, 4], precisamos calcular a área total sob a curva naquele intervalo e dividir pelo comprimento do intervalo. A área total é dada por ∫[1,4] √x dx = [2x^(3/2)/3]|1,4] = (8/3) - (2/3) = 6/3 = 2. Então, o valor médio é 2/(4-1) = 2/3.
Para encontrar os pontos no intervalo [1, 4] onde f é igual ao valor médio, precisamos resolver a equação f(x) = 2/3. Isolando x, temos √x = 2/3, ou x = (2/3)^2 = 4/9. Como o intervalo é [1, 4], o único ponto no intervalo onde f é igual ao valor médio é x = 4/9 = 196/81.