⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Equações Diferenciais Ordinárias, concluímos que a solução da EDO é  [tex]y=x^4c[/tex] .

A equação dada é  [tex]x\dfrac{dy}{dx}=4y[/tex] , que pode ser escrita como  [tex]\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y}{x}[/tex] .

➜     Separando as variáveis, temos

[tex]\dfrac{dy}{y} =4\dfrac{dx}{x}[/tex]

➜     Integrando dos dois lados

[tex]\begin{array}{l}\displaystyle\int \frac{dy}{y} =\int 4\frac{dx}{x}\\\\\ln y=4\ln x+c\end{array}[/tex]

➜     Aplicando a exponencial

[tex]\begin{array}{l}e^{\ln y} =e^{4\ln x+c_{1}} =e^{\ln x^{4}} e^{c_{1}}\\\\\Longrightarrow \boxed{y=x^{4} \cdotp c\ \ } \ \ \ \left[ c=e^{c_{1}}\right]\end{array}[/tex]

♦︎     Aqui usamos as propriedades  [tex]a^{\log_{a} b} =b[/tex]  e  [tex]a^{m} a^{n} =a^{m+n}[/tex] .

∴     A solução da EDO é  [tex]y=x^4c[/tex] , o que consta na alternativa c   ✍️

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