Resposta: C) 6x + 2

Explicação passo a passo:

Na derivada parcial em relação a y, o x se comporta como se fosse uma conatante.

f(x,y) =  x ² - 3x²y + 3xy²+ y²

Derivada de 1ª ordem em relação a y [lembrando que a derivada de uma constante é zero]

1ª termo x² => constante => = 0

2º termo - 3x²y => - 3x²

3º termo +3xy² => 3x(2y) = 6xy

3º termo y² => 2y

A derivada parcial em relação a y de 1ª ordem fica,

- 3x² + 6xy + 2y

Derivada de 2ª ordem em relaçao a y,

1º termo -3x² => 0

2º termo 6xy => 6x

3º termo 2y = + 2

A derivada parcial em relação a y de 2ª ordem fica,

6x + 2

Resposta:

Derivada de segunda ordem em relação a y (considere x uma constante).

[tex]\sf f(x,y)=x^3-3x^2y+3xy^2+y^2[/tex]

[tex]\sf \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^3-3x^2y+3xy^2+y^2)[/tex]

[tex]\sf \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigg(\dfrac{\partial}{\partial y}(x^3-3x^2y+3xy^2+y^2)\bigg)[/tex]

[tex]\sf f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigg(\dfrac{\partial}{\partial y}(x^3)-\dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2y)+\dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)\bigg)[/tex]

[tex]\sf f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigg(\dfrac{\partial}{\partial y}(x^3)-3x^2\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y)+3x\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)\bigg)[/tex]

[tex]\sf f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(0-3x^2\cdot1+3x\cdot2y+2y\big)[/tex]

[tex]\sf f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(\!\!-3x^2+6xy+2y\big)[/tex]

[tex]\sf f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-\,3x^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}(6xy)+\dfrac{\partial}{\partial y}(2y)[/tex]

[tex]\sf f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-\,3x^2)+6x\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y)+\dfrac{\partial}{\partial y}(2y)[/tex]

[tex]\sf f_{yy}=0+6x\cdot1+2[/tex]

[tex]\red{\boxed{\sf f_{yy}=6x+2}}[/tex]

Letra C

Regras usadas:

• [tex]\sf\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x)\pm g(x))=\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x))\pm\dfrac{\partial}{\partial x}(g(x))[/tex]

• [tex]\sf\dfrac{\partial}{\partial x}(c\cdot f(x))=c\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x)),~c:constante~real[/tex]

• [tex]\sf\dfrac{\partial}{\partial x}(c)=0[/tex]

• [tex]\sf\dfrac{\partial}{\partial x}(cx)=c[/tex]

• [tex]\sf\dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1[/tex]

• [tex]\sf\dfrac{\partial}{\partial x}(x^n)=nx^{n-1},~n\neq1[/tex]