bonjour

1.

(a) Justifier que ce repère est orthonormé.

ABCD est un carré  : (AD) ⊥ (DC)

                                    AB = DC = 1

les vecteurs DC et DA sont orthogonaux, ont la même norme

et la même origine

             le repère est orthonormé

(b) Quelles sont les coordonnées des points A, B, C et D?

A(0 ; 1)

B(1 ; 1)

C(1 ; 0)

D(0 ; 0)

2.

(a) Que représente (FK) dans le triangle DFC?

         le triangle DFC est équilatéral, (FK) est la médiatrice de [DC]

(b) En déduire les coordonnées du point K.

     K est le milieu de [DC]

                          K( 0 ; 1/2)

3. Calculer FK et en déduire les coordonnées de F.

              le triangle équilatéral DFC a pour côté 1

 le triangle FKC est rectangle en K ;   FC = 1   et KC = 1/2

         d'après le théorème de Pythagore

  FK² = FC² - KC² = 1 - 1/4 = 3/4

    FK = √3/2

                                F(1/2 ; √3/2)

4. Déterminer les coordonnées de E.

  le triangle BEC est équilatéral, (EL) est médiatrice de [BC]

            l'ordonnée de E est 1/2

  LE = FK   (triangles égaux)

     l'abscisse de E est  1 + √3/2

                                E(1 + √3/2 ; 1/2)

5. Les points A, F et E sont-ils alignés ?​

     A(0 ; 1)         F(1/2 ; √3/2)             E(1 + √3/2 ; 1/2)

on cherche si les vecteurs AF et AE sont colinéaires

• AF (xF - xA ; yF - yA)

  AF (1/2 ; √3/2 - 1)

• AE (xE - xA ; yE - yA)

  AF(1 + √3/2 ; -1/2)

rappel :

2 vecteurs u (x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si

                               xy' = yx'

on calcule ces produits

1/2 * -1/2 = -1/4

(√3/2 - 1)(1 + √3/2) = (√3/2 - 1)(√3/2 + 1) = (√3/2)² - 1² = 3/4 - 1 = -1/4

ces produits sont égaux

les vecteurs sont colinéaires

les droites (AF) et (AE) sont parallèles

 comme elles ont en commun le point A elles sont confondues

     les point A, F et E sont alignés