Réponse :

a > 0  et b > 0  et p ∈ N tels que

√p ≤ a  et ab = p

1) a) pourquoi a-t-on √p/a ≤ 1

√p ≤ a ⇔ √p/a ≤ a/a   car a > 0

⇔ √p/a ≤ 1

b) en déduire que p/a ≤ √p

√p/a ≤ 1 ⇔ √p x √p/a√p   or p > 0  

 ⇔ p/a√p ≤ 1 ⇔ p/a ≤ √p

b ≤ √p ≤ a

p/a ≤ √p ⇔ ab/a ≤ √p    b > 0

⇔ b ≤ √p   et on a √p ≤ a ⇒  b ≤ √p ≤ a

2) a) montrer que (a + b)² - 4ab ≥ 0

a² + 2 ab + b² - 4ab ≥ 0 ⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0 ⇔ (a - b)² ≥ 0  

b) en déduire que √p ≤ 1/2(a + b)

(a + b)² ≥ 4ab ⇒ a + b ≥ 2√ab

⇔ 2√ab ≤ a + b ⇔ √ab ≤ 1/2(a+b)  or ab = p  donc √ab = √p

⇒ √p ≤ 1/2(a+b)

3) en déduire que  b ≤ √p ≤ 1/2(a + b) ≤ a

on sait que b = p/a ≤ √p  et on sait que √p ≤ 1/2(a+b) et on sait que √p ≤ a

donc b ≤ √p ≤ 1/2(a + b) ≤ a

Explications étape par étape