Bonjour,

1) AD² = AD.AD

= (AB + BD)(AB + BD)

= AB² + AB.BD + BD.AB + BD²

= AB² + 2AB.BD + BD²                 (u.v = v.u)

= AB² - 2BA.BA + BD²

= AB² - 2 x BH x BD + BD²             (H étant le projeté de A sur (BD))

= AB² - 2 x 1/4 x BD x BD + BD²

= AB² + 1/2 x BD²

2) BA.BD

= BH x BD

= 1/4 x BD x BD

= 1/4 x BD²   (erreur d'énoncé...)

La question serait plutôt : DA.DB = DH.DB = 3/4 x BD²

3) BD = 4 et AB = √10

a) d'après 1) : AD² = AB² + 1/2 x BD²

Soit : AD² = 10 + 1/4 x 16 = 14 ⇒ AD = √14

b)

cos(ADB) = DA.DB/||DA||x||DB||

= (3/4 x BD²)/ADxBD

= (3/4 x 16)/√14 x 4

= 12/4√14

= 3/√14

(≈ 0,801... soit ADB ≈ 36,7°)