Resposta:

1) A matriz transposta é simplesmente a substituição das linhas pelas colunas, ou seja, o que antes era a linha 1, vira a coluna 1, por exemplo.

[tex]A^t=\left[\begin{array}{ccc}2&1&8\\4&-7&-9\\3&0&6\\-5&-2&-4\end{array}\right][/tex]

2) Primeiro, devemos igualar as matrizes

[tex]\left[\begin{array}{ccc}8&15n\\12+m&3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}8&75\\6&3\end{array}\right][/tex]

e para elas serem iguais, é necessário que seus elementos também sejam iguais, ou seja, quem ocupa a linha 1, coluna 1 da primeira matriz, deve ser igual a quem ocupa a linha 1, coluna 1 da outra matrz, portanto:

[tex]15n=75\\n=\frac{75}{15}\\n=5[/tex]                     [tex]12+m=6\\m=6-12\\m=-6[/tex]

3) Para que a matriz B seja inversa de A, a multiplicação de AB ou BA deve ser igual a matriz identidade I, onde todos os elementos da diagonal principal são 1's e o restante 0's, então

[tex]A\times B = B\times A= I_2\\\\\left[\begin{array}{ccc}m&-22\\-2&n\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{ccc}5&22\\2&9\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\\\\left[\begin{array}{ccc}5m-44&22m-198\\-10+2n&-44+9n\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right][/tex]

Como na questão anterior, igualando:

[tex]\left \{ {{5m-44=1} \atop {-10+2n=0}} \right. \Rightarrow 5m=45 \Rightarrow m=9\\\Downarrow\\2n=10 \Rightarrow n =5[/tex]