Uepg – PR) Dadas as funções definidas por f(x) = (4/5)x e g(x) = (5/4)x, é correto afirmar:
( ) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
( ) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
( ) g(– 2) . f(– 1) = f(1)
( ) f [g(0)] = f(1)
( ) f(– 1) + g(1) = \frac{5}{2}
( ) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
( ) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
( ) g(– 2) . f(– 1) = f(1)
( ) f [g(0)] = f(1)
( ) f(– 1) + g(1) = \frac{5}{2}
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Para resolver questões desse tipo, nós devemos verificar se cada afirmativa é verdadeira. Feito isso, nós somamos os números das afirmativas corretas. Vamos então analisar cada uma das afirmativas propostas:
(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
Precisamos saber se existe algum valor de f(x) que seja igual ao de g(x). Devemos então ter algum valor de x para que a igualdade a seguir seja verdadeira:
f (x) = g (x)
x = – x
O único valor em que temos x = – x é x = 0. Sendo assim:
f(0) = 1
g(0) = 1
As duas funções interceptam-se quando x = 0. Portanto, a afirmativa é falsa.
(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
Para saber se a função logarítmica é crescente ou decrescente, devemos analisar a base da potência. Se ela for maior do que 1, então a função será crescente; se for algum valor entre 0 e 1, a função será decrescente. A base da função f(x) é 4/5, valor que equivale ao decimal 0,8, o que nos garante que a função f(x) é decrescente. Já a base da função g(x) é 5/4, que corresponde ao decimal 1,25, através disso afirmamos que a função g(x) é crescente. Essas análises contrariam a afirmativa, portanto, ela é falsa.
(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)
Substituindo cada valor nas funções, temos:
g(– 2) . f(– 1) = f(1)
Essa afirmativa é verdadeira.
(08) f [g(0)] = f(1)
Nesse caso, estamos lidando com uma função composta. Primeiramente, precisamos verificar o valor de g(0), temos então:
g(0) = 1
Sendo assim:
f [g(0)] = f [1] = f(1)
Portanto, a afirmativa é verdadeira.
(16) f(– 1) + g(1) = 5
2
Vamos substituir os valores de x nessas funções para calcular o valor da soma
f(– 1) + g(1) = 5 + 5
4 4
f(– 1) + g(1) = 10 = 5
4 2
Essa afirmativa também é verdadeira.
Somando os números correspondentes às afirmativas verdadeiras, temos: 04 + 08 + 16 = 28.