Após considerar a resolução da integral pelo método de Riemann, aproximamos a área superestimando e subestimando, tiramos a média aritmética e concluímos que a resposta correta é a letra D) 10,5.

Para entender melhor a resposta, considere a explicação a seguir:

Integral pelo método de Riemann

Vamos calcular a área abaixo da curva -x² + 4 para o intervalo de x = -2 até x = 2.

Para calcular pela direita (subestimando), consideraremos, para o somatório, i = 1 e n = 8; e para calcular pela esquerda (superestimando), consideraremos i = 0 e n = 7.

A fórmula para encontrar a área pelo método de Riemann superestimando é:

[tex]$\displaystyle\int\limits^b_{a} \,f(x)~dx ~~=~~ \lim_{n \to \infty} ~\sum_{i=1}^{n}f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x$[/tex]

Onde:  a = -2 ,  i = 1  e  n = 8,  e quando subestimando, i = 0  e  n = 7.

Passo a passo:

[tex]\Delta x=\dfrac{2-(-2)}{n} ~~~\to~~~\Delta x=\dfrac{4}{n}[/tex]

[tex]f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x~~=~~f\left(-2+i~\dfrac{4}{n} \right)~~~substituir~~em~~ x~~ na~~funcao[/tex]

[tex]f(a+i\Delta x)~=~ -\dfrac{16i^{2}}{n^{2}} +\dfrac{16}{n} ~~~\to ~~~\sum_{i=1}^{n}\left(-\dfrac{16i^{2}}{n^{2}} +\dfrac{16i}{n} \right)\cdot \dfrac{4}{n}~~~\to ~~~-\dfrac{64i^{2}}{n^{3}}+-\dfrac{64i}{n^{2}}[/tex]

[tex]f(a+i\Delta x)~=~\sum_{i=1}^{n=8}\left(-\dfrac{64i^{2}}{n^{3}} \right)~+~\sum_{i=1}^{n=8}\left(\dfrac{64i}{n^{2}} \right)\\ \\ \\f(a+i\Delta x)~=~ -\dfrac{64}{n^{3}} \sum_{i=1}^{n=8}~i^{2}~~+~~\dfrac{64}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n=8}~i[/tex]

Substituindo em:

  [tex]$\displaystyle\sum_{i=1}^{n=8}~i^{2}~=~ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ~~~~~e~~~~~ \sum_{i=1}^{n=8}~i~=~\frac{n(n+1)}{2} $[/tex]  

[tex]f(a+i\Delta x)~=-~\dfrac{64}{n^{3}}\cdot \left[\left(\dfrac{8\cdot(8+1)\cdot(2\cdot 8)+1}{6} \right)\right] ~+~\dfrac{64}{n^{2}}\cdot\left[\left(\dfrac{8\cdot (8+1)}{2} \right)\right][/tex]

Área pela direita

[tex]\boxed{f(a+i\Delta x)~=~10,5}[/tex]

Área pela esquerda

[tex]f(a+i\Delta x)~=-~\dfrac{64}{n^{3}}\cdot \left[\left(\dfrac{7\cdot(7+1)\cdot(2\cdot 7)+1}{6} \right)\right] ~+~\dfrac{64}{n^{2}}\cdot\left[\left(\dfrac{7\cdot (7+1)}{2} \right)\right][/tex]

[tex]\boxed{f(a+i\Delta x)~=~10,45}[/tex]

Média aritmética:

(10,5 + 10,45) ÷ 2  =  10,475 ≅ 10,5

Alternativa D) 10,5.

Aprenda mais sobre integrais pelo método Riemann em:

https://brainly.com.br/tarefa/30093839

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