Ao apresentar, inicialmente, o conceito de integral definida, é feita a aproximação dessa integral utilizando retângulos. É possível fazer aproximações acima da curva, superestimando, ou abaixo da curva, subestimando. Essa técnica é chamada de soma de Riemann. Utilizando 8 retângulos, aproxime a área sob a curva f(x)=-x2+4 usando a média aritmética entre a superestimação e a subestimação do intervalo [-2, 2]. Assinale a alternativa correta A)4,5. B)8,5. C)12,5. D)10,5.
Após considerar a resolução da integral pelo método de Riemann, aproximamos a área superestimando e subestimando, tiramos a média aritmética e concluímos que a resposta correta é a letra D) 10,5.
Para entender melhor a resposta, considere a explicação a seguir:
Integral pelo método de Riemann
Vamos calcular a área abaixo da curva -x² + 4 para o intervalo de x = -2 até x = 2.
Para calcular pela direita (subestimando), consideraremos, para o somatório, i = 1 e n = 8; e para calcular pela esquerda (superestimando), consideraremos i = 0 e n = 7.
A fórmula para encontrar a área pelo método de Riemann superestimando é:
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Após considerar a resolução da integral pelo método de Riemann, aproximamos a área superestimando e subestimando, tiramos a média aritmética e concluímos que a resposta correta é a letra D) 10,5.
Para entender melhor a resposta, considere a explicação a seguir:
Integral pelo método de Riemann
Vamos calcular a área abaixo da curva -x² + 4 para o intervalo de x = -2 até x = 2.
Para calcular pela direita (subestimando), consideraremos, para o somatório, i = 1 e n = 8; e para calcular pela esquerda (superestimando), consideraremos i = 0 e n = 7.
A fórmula para encontrar a área pelo método de Riemann superestimando é:
[tex]$\displaystyle\int\limits^b_{a} \,f(x)~dx ~~=~~ \lim_{n \to \infty} ~\sum_{i=1}^{n}f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x$[/tex]
Onde: a = -2 , i = 1 e n = 8, e quando subestimando, i = 0 e n = 7.
Passo a passo:
[tex]\Delta x=\dfrac{2-(-2)}{n} ~~~\to~~~\Delta x=\dfrac{4}{n}[/tex]
[tex]f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x~~=~~f\left(-2+i~\dfrac{4}{n} \right)~~~substituir~~em~~ x~~ na~~funcao[/tex]
[tex]f(a+i\Delta x)~=~ -\dfrac{16i^{2}}{n^{2}} +\dfrac{16}{n} ~~~\to ~~~\sum_{i=1}^{n}\left(-\dfrac{16i^{2}}{n^{2}} +\dfrac{16i}{n} \right)\cdot \dfrac{4}{n}~~~\to ~~~-\dfrac{64i^{2}}{n^{3}}+-\dfrac{64i}{n^{2}}[/tex]
[tex]f(a+i\Delta x)~=~\sum_{i=1}^{n=8}\left(-\dfrac{64i^{2}}{n^{3}} \right)~+~\sum_{i=1}^{n=8}\left(\dfrac{64i}{n^{2}} \right)\\ \\ \\f(a+i\Delta x)~=~ -\dfrac{64}{n^{3}} \sum_{i=1}^{n=8}~i^{2}~~+~~\dfrac{64}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n=8}~i[/tex]
Substituindo em:
[tex]$\displaystyle\sum_{i=1}^{n=8}~i^{2}~=~ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ~~~~~e~~~~~ \sum_{i=1}^{n=8}~i~=~\frac{n(n+1)}{2} $[/tex]
[tex]f(a+i\Delta x)~=-~\dfrac{64}{n^{3}}\cdot \left[\left(\dfrac{8\cdot(8+1)\cdot(2\cdot 8)+1}{6} \right)\right] ~+~\dfrac{64}{n^{2}}\cdot\left[\left(\dfrac{8\cdot (8+1)}{2} \right)\right][/tex]
Área pela direita
[tex]\boxed{f(a+i\Delta x)~=~10,5}[/tex]
Área pela esquerda
[tex]f(a+i\Delta x)~=-~\dfrac{64}{n^{3}}\cdot \left[\left(\dfrac{7\cdot(7+1)\cdot(2\cdot 7)+1}{6} \right)\right] ~+~\dfrac{64}{n^{2}}\cdot\left[\left(\dfrac{7\cdot (7+1)}{2} \right)\right][/tex]
[tex]\boxed{f(a+i\Delta x)~=~10,45}[/tex]
Média aritmética:
(10,5 + 10,45) ÷ 2 = 10,475 ≅ 10,5
Alternativa D) 10,5.
Aprenda mais sobre integrais pelo método Riemann em:
https://brainly.com.br/tarefa/30093839
#SPJ1