Applications:
a) Conjecturer à la calculatrice le nombre de solutions de l'équation
x³ + 2x²-5x - 10 = 0
b) Montrer que pour tout x réel x³ + 2x² - 5x-10 = (x + 2)(x² - 5)
c) En déduire les solutions de x³ + 2x² -5x - 10 = 0
a) Conjecturer à la calculatrice le nombre de solutions de l'équation
x³ + 2x²-5x - 10 = 0
b) Montrer que pour tout x réel x³ + 2x² - 5x-10 = (x + 2)(x² - 5)
c) En déduire les solutions de x³ + 2x² -5x - 10 = 0
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a) En utilisant la calculatrice pour trouver les racines de l'équation, on peut conjecturer que l'équation a une seule solution réelle.
b) Pour montrer que pour tout x réel x³ + 2x² - 5x - 10 = (x + 2)(x² - 5), on peut utiliser l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b² pour développer (x + 2)(x² - 5) comme suit:
(x + 2)(x² - 5) = x(x² - 5) + 2(x² - 5) = x³ - 5x + 2x² - 10
On peut alors remarquer que x³ + 2x² - 5x - 10 = (x + 2)(x² - 5)
c) En utilisant la factorisation trouvée dans la partie b), on peut écrire l'équation x³ + 2x² - 5x - 10 = 0 comme suit:
(x + 2)(x² - 5) = 0
Cela donne les solutions x = -2, x = sqrt(5) et x = -sqrt(5).