Bonjour, si tu as des questions n'hésite pas, j'y répondrai. Passe une bonne journée.

Explications étape par étape :

[tex]f(t) = 2(t+7)^2 - 4[/tex]

1) L'ensemble de définition d'une fonction, c'est l'ensemble des valeurs auxquelles tu peux associer une image par la fonction f. Ici, l'ensemble de définition de ta fonction est [tex]\mathbb{R}[/tex] car pour tout réel, tu peux lui associer une image par f.

À contrario, l'ensemble de définition de la fonction inverse est [tex]\mathb{R}^*[/tex] (c'est-à-dire [tex]\mathbb{R}[/tex] privé de 0) car tu ne peux pas associer d'image à 0 ( [tex]\frac{1}{0}[/tex] n'est pas défini).

2) « Trouver les antécédents de 6 par f », si on reformule : tu dois trouver pour quelle(s) valeur(s) de t ta fonction f renvoie 6. Il s'agit à présent de résoudre une équation :

[tex]f(t) = 6\\\\2(t+7)^2 - 4 = 6\\\\2(t^2 + 14t + 49) - 4 = 6\\\\2t^2 + 28t + 98 - 4 = 6\\\\2t^2 + 28t + 88 = 0[/tex]

Calculons le discriminant [tex]\Delta[/tex] de ce trinôme du second degré :

[tex]\Delta = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \times 2 \times 88 = 784 - 704 = 80[/tex]

On a [tex]\Delta > 0[/tex] donc ce trinôme admet deux racines réelles [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]. On peut à présent les calculer :

[tex]x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-28 - \sqrt{80}}{2 \times 2} = \dfrac{-28 - 4\sqrt{5}}{4} = \boxed{-7-\sqrt{5}}[/tex]

[tex]x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-28 + \sqrt{80}}{2 \times 2} = \dfrac{-28 + 4\sqrt{5}}{4} = \boxed{-7 + \sqrt{5}}[/tex]

Les antécédents de 6 par la fonction f sont donc [tex]-7 - \sqrt{5}[/tex] et [tex]-7 + \sqrt{5}[/tex].