Assinale a opção que apresenta o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u with rightwards arrow on top equals open parentheses 2 comma 0 comma 1 close parentheses comma space v with rightwards arrow on top equals open parentheses 3 comma negative 1 comma 4 close parentheses space e space w with rightwards arrow on top equals open parentheses negative 2 comma 1 comma 5 close parentheses colon a. Volume do paralelepípedo = 12 b. Volume do paralelepípedo = 25 c. Volume do paralelepípedo = 5 d. Volume do paralelepípedo = -17 e. Volume do paralelepípedo = 17
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Resposta: 17
Explicação passo a passo:
RESPOSTA
17
Para encontrar o volume do paralelepípedo definido pelos vetores [tex]\(\vec{u} = (2, 0, 1)\)[/tex], [tex]\(\vec{v} = (3, -1, 4)\)[/tex] e [tex]\( \vec {w} = (-2, 1, 5)\)[/tex] ,
podemos usar a seguinte fórmula:
[tex]\[\text{Volume} = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|,\][/tex]
[tex]\[\vec{v} \times \vec{w} = \hat{i} \cdot (-1 \cdot 5 - 4 \cdot 1) - \hat{j} \cdot (3 \cdot 5 - 4 \cdot (-2)) + \hat{k} \cdot (3 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)).\][/tex]
[tex]\[\vec{v} \times \vec{w} = \hat{i} \cdot (-5 - 4) - \hat{j} \cdot (15 + 8) + \hat{k} \cdot ( 3 - 2).\][/tex]
[tex]\[\vec{v} \times \vec{w} = \hat{i} \cdot (-9) - \hat{j} \cdot 23 + \hat{k} \cdot 1.\][/tex]
[tex]\[\vec{v} \times \vec{w} = (-9, -23, 1).\][/tex]
Agora calculamos o produto escalar
[tex]\(\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\)[/tex]:
[tex]\[\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (2, 0, 1) \cdot (-9, -23, 1).\][/tex]
[tex]\[\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 2 \cdot (-9) + 0 \cdot (-23) + 1 \cdot 1.\][/tex]
[tex]\[\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = -18 + 1 = -17.\][/tex]
O volume do paralelepípedo é, portanto, o valor absoluto de [tex]\(-17\)[/tex], ou seja, [tex]\(17\)[/tex].