Avec une feuille en carton de 20 cm par 30 cm on cherche à construire une boîte (sans couvercle !) en forme de pave droit. Pour cela, on doit dessiner quatre carrés de même dimension x, aux quatre coins de la feuille, que l'on decoupera suivant la diagonale (en pointillé) afin de pouvoir plier (selon les traits pleins) et faire se rejoindre les quatre « côtés » de la boite à l'aide des « languettes » ainsi obtenues. Quelle valeur doit-on prendre pour x afin que le volume de la boîte ainsi formée soit maximal?
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Réponse :
Pour trouver la valeur de x qui maximise le volume de la boîte, nous devons d'abord trouver une expression pour le volume en fonction de x.
Le volume d'un pavé droit est donné par la formule V = L * l * h, où L, l et h sont la longueur, la largeur et la hauteur du pavé, respectivement. Dans ce cas, la longueur et la largeur du pavé sont égales à la somme des dimensions de la feuille de carton moins deux fois la dimension x des carrés aux coins, soit [tex]30 - 2x[/tex] et [tex]20 - 2x[/tex]. La hauteur du pavé est égale à la dimension des carrés, soit x.
Ainsi, l'expression du volume V en fonction de x est:
[tex]V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x)[/tex]
Maintenant, nous devons trouver la valeur de x qui maximise cette fonction. Pour cela, nous pouvons utiliser la dérivée.
[tex]V'(x) = 60x - 100x^2 + 24x^3[/tex]
Nous cherchons maintenant les valeurs de x pour lesquelles la dérivée est nulle, c'est-à-dire les points où la fonction atteint un maximum ou un minimum.
V'(x) = 0 ⇔ x(3x - 5)(8x - 5) = 0
Les racines de cette équation sont x = 0, x = 5/3 et x = 5/8.
Cependant, nous cherchons uniquement la valeur de x qui maximise la fonction, donc nous devons vérifier la concavité de la fonction autour de ces valeurs. Pour cela, nous pouvons utiliser la dérivée seconde :
[tex]V''(x) = 60 - 200x + 72x^2[/tex]
[tex]V''(0) = 60 > 0[/tex], donc x = 0 est un minimum local.
[tex]V''(5/3) = -64/3 < 0[/tex], donc x = 5/3 est un maximum local.
[tex]V''(5/8) = 256/5 > 0[/tex], donc x = 5/8 est un minimum local.
Ainsi, la valeur de x qui maximise le volume de la boîte est x = 5/8, soit environ 0,625 cm.
PS : Tous unis contre les IA !