Besoin d’aide pour ce DM sur les dérivées svp Est-ce que je dois d’abord trouver les fonctions des t.... Pergunta de ideia dedadkami15

January 2021 1 132 Report

Besoin d’aide pour ce DM sur les dérivées svp

Est-ce que je dois d’abord trouver les fonctions des tangentes au point a puis ensuite trouver a tel qu’elles soit égales ?

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

Cf et Cg admettent des tangentes parallèles au point d'abscisse $a$ , si $f'(a)=g'(a)$ .

On a:

$f'(a)=3a^{2}-2 \times 2a+2\\g'(a)=-2a+3$ .

Donc:

$f'(a)=g'(a)\\3a^{2}-4a+2=-2a+3\\3a^{2}-2a-1=0\\\Delta=(-2)^{2}-4 \times 3 \times -1=4+12=16\\a_{1}=\frac{2-\sqrt{16}}{6} \quad a_{2}=\frac{2+\sqrt{16}}{6}\\a_{1}=-\frac{1}{3} \quad a_{2}=1$ .

Donc aux points d'abscisse $-\frac{1}{3}$ et 1, Cf et Cg ont des tangentes parallèles.

1) Au point d'abscisse $a=-\frac{1}{3}$ .

La tangente à Cf au point d'abscisse $-\frac{1}{3}$ est:

$y=f'(-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3})+f(-\frac{1}{3})\\f'(-\frac{1}{3})=3 \times (-\frac{1}{3})^{2}-4 \times -\frac{1}{3}+2=3 \times \frac{1}{9}+\frac{4}{3}+2=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}+\frac{6}{3}=\frac{11}{3}\\f(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^{3}-2 \times (-\frac{1}{3})^{2}+2 \times -\frac{1}{3}-1=-\frac{1}{27}-2 \times \frac{1}{9}-\frac{2}{3}-1=\frac{-1-6-18-27}{27}=-\frac{52}{27}$

Donc l'équation de la tangente Cf au point d'abscisse $-\frac{1}{3}$ est :

$y=\frac{11}{3}(x+\frac{1}{3})-\frac{52}{27}=\frac{11}{3}x+\frac{11}{9}-\frac{52}{27}=\frac{11}{3}x+\frac{33-52}{27}=\frac{11}{3}x-\frac{19}{27}$

La tangente à Cg au point d'abscisse $-\frac{1}{3}$ est:

$y=g'(-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3})+g(-\frac{1}{3})\\g'(-\frac{1}{3})=-2 \times -\frac{1}{3}+3=\frac{2}{3}+3=\frac{2+9}{3}=\frac{11}{3}\\g(-\frac{1}{3})=-(-\frac{1}{3})^{2}+3 \times -\frac{1}{3}+2=-\frac{1}{9}-1+2=\frac{-1-9+18}{9}=\frac{8}{9}\\y=\frac{11}{3}(x+\frac{1}{3})+\frac{8}{9}\\y=\frac{11}{3}x+\frac{11}{9}+\frac{8}{9}\\y=\frac{11}{3}x+\frac{19}{9}$ .

Je vous laisse calculer les tangentes à Cf et Cg au point d'abscisse 1 sur le même modèle.

Vous devez trouver $y=x-1$ , pour $f$ et $y=x+3$ pour $g$ .

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dadkami15 Merci beaucoup

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