Réponse :Explications étape par étape

x²+1 est toujours>0 f(x) est donc f(x) définie sur R les deux termes du quotient sont dérivables sur R donc f(x) est dérivable sur R.

limites: x tend vers-oo f(x) tend vers 3(-)   qd x tend vers +oo f(x) tend  vers 3(+)

f(x)=u/v  donc f'(x) =(u'v-v'u)/v² avec u=3x²+4x+3   u'=6x+4

v=x²+1      v'=2x

développe et réduis pour arriver à f'(x)=4(1-x²)/(x²+1)  

f'(x)=0 pour x=1  et x=-1

Tableau

x    -oo                    -1                        +1                         +oo

f'(x)   ..............-............0..............+............0...........-.................

f(x)3(-).......décroi......1..........croi ............5 ........................3(+)

Equation de la tangente (T)  y=f'(0)(x-0)+f(0)=4x+3  

Pour donner la position de (C) par rapport à (T) il faut trouver le signe def(x)-y soit (3x²+4x+3)/(x²+1)-(4x+3)  après mise au même dénominateur tu dois trouver -4x³/(x²+1)

résultats si x<0  (C) au dessus de (T) et si x>0  (C) en dessous de (T)

Sur ton repère  les tangentes horiznontales sont f'(-1)   y=1    et f'(+1)    y=5. Tu peux aussi tracer l'asymptote  horizontale y=3.

g(x)  si tu calcules f(Ix<0I)) c'est comme f(x>0)  pour obtenir (Gamma) on reproduit la partie  où  f(x)<3 par symétrie d'axe y=3  ou tu reproduis la partie de f(x) à droite de l'axe des ordonnées par une  symétrie par rapport à l'axe des ordonnées