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Bonjour, voir dessin en pièce jointe

1)a) AK=AB+BK

AK=AB+(1/2)BI

AK=AB+(1/2)BA+(1/2)AI

AK=(1/2)AB+(1/2)AI

AK=(1/2)(AB+AI)⇒CQFD

b) On sait que:

AK=AJ+JK

AK=AJ+(1/2)AK car on a: A=sJ(K) donc:

AJ=AK-(1/2)AK

AJ=(1/2)AK

c) AJ=(1/2)AK comme on a  AI=(1/2)(AJ+AC)⇒AJ=2AI+CA d'où:

2AI+CA=(1/2)AK

4AI+2CA=AK

4(2AK+BA)+2CA=AK car ona AK=1/2(AB+AI)⇒AI=2AK+BA d'où:

8AK+4BA+2CA=AK

7AK=4AB+2AC

AK=(1/7)(4AB+2AC)

AK=(2/7)(2AB+AC)⇒CQFD

2) On part de:

BP=(1/3)BC

BA+AP=(1/3)(BA+AC)

AP=(1/3)BA-BA+(1/3)AC

AP=(-2/3)BA+(1/3)AC

AP=(2/3)AB+(1/3)AC

AP=(1/3)(2AB+AC)

3) Comme on a:

AP=(1/3)(2AB+AC)

AP=(1/3)(7/2)AK car AK=(2/7)(2AB+AC)⇒2AB+AC=(7/2)AK

AP=(7/6)AK

On en déduit que A, K et P sont alignés. De plus, on sait que A est le symétrique de K par rapport à J donc A, K et J sont alignés. D'où les points A, K, P et J sont alignés.