Réponse :

bjr

Explications étape par étape

u est lineaire ?

prenons a,b dans R et P, Q deux polynomes dans Rn[x] quelconques

on verifie aisement que

u(aP+bQ) = au(P)+bu(Q)

donc u est lineaire

determinons le noyau de u

c est l ensembe des polynomes a coefficients reels de degre inferieur ou egal a n

tel que u(P) soit le polynome nul

cela s ecrit

P(2X)-2^nP(X) = 0

ou encore

(1) P(2X)=2^nP(X)

travaillons sur la base canonique de Rn[X]

il existe a0, a1, ..., an n+1 reels tels que  

P(x)= somme de ai X^i pour i allant de 0 a n

l equation (1) s ecrit alors

pour tout (ai)0<=i<=n

ai(2X)^i = 2^n aiX^i

d ou  

2^i ai = 2^n ai  

c est vrai pour i = n et quel que soit an

et ai = 0 pour tout i < n

donc le noyau de u est en fait le sous espace vectoriel engendre par le monome x^n

pour l image de u, notons que u(P) s ecrit avec les notations deja introduites

somme de (2^i - 2^n) aiX^i pour i allant de 0 a n

Soit (bi)0<=i<=n les coordonnes de u(P) dans la base canonique

pouvons nous trouver (ai)0<=i<=n tel que

bi = (2^i - 2^n) ai ?

pour i = n ca donne bn = 0 et pour i different de n je peux trouver  

ai = bi / (2^i - 2^n)

donc l image de u est le sous espace vectoriel des polynomes de degre inferieur ou egal a n-1

Nous savons du cours que ker(u) et Im(u) sont des espaces vectoriels, ici de Rn[X] qui est de dimension n+1

or dim(Ker(u)) = 1 et dim(Im(u)) = n

dim(Ker(u)) + dim(Im(u)) = dim[Rn[X])

et le seul element commun aux deux ensembles ker(u) et Im(u) est l element 0 de Rn[X]

donc les deux espaces sont supplementaires