Explications étape par étape:

Bonsoir, pour suite au 1er exercice :

1-d) Notons 1, X, X^2 respectivement, dans cet ordre, les "lignes" de la matrice, et f(1), f(X), f(X^2) les colonnes.

Pour rappel, on avait calculé précédemment :

f(1) = 2X + 1 = 1 sur la 1re ligne, et 2 sur la 2e.

On procède ainsi pour les autres vecteurs.

Ainsi, la matrice A représente simplement l'application f, dans la base canonique.

2-a Soit t, une valeur propre de f. Alors par définition, f(u) = t*u, avec u un vecteur propre de f (different de 0, évidemment) associé à la valeur propre t.

Autrement dit :

(f - t*Id)(u) = 0, avec Id, l'application identité.

On peut le réecrire ainsi :

u € Ker f - t*Id.

Tu peux donc essayer les valeurs mentionnées dans le spectre de f, et vérifier la condition du dessus, 1re méthode.

2e méthode : Ceci équivaut à : det(f - t*Id) = 0 (ou bien det(A - t*Id) = 0 matriciellement).

Pourquoi ? det(f - t*Id) = 0 signifie qu'il existe au moins 2 vecteurs colinéaires.

Pour la matrice de taille 3, cela signifie que le rang de la matrice vaut 1, ou 2.

En vertu du théorème du rang, la dimension du noyau sera donc de 1, ou 2, pas 0.

Le noyau ne sera donc pas réduit au singleton {0}, f - t*Id ne sera alors pas injective.

C'esr exactement ce que l'on recherche, si le noyau n'est pas réduit à {0}, alors on peut trouver un réel t, tel que f(u) = t*u.

3e méthode : Tu sais que le spectre de f, constitue les racines de son polynôme caractéristique, il faut donc déterminer det(f - t*Id), et vérifier que les valeurs de t du spectre annulent bien polynôme caractéristique.

En résumé :

1- Tu prends un vecteur propre u(x,y,z) dans Ker f - t*Id, et tu vérifies que tu peux trouver une base de Ker f - t*Id (pas la meilleure méthode, sauf pour diagonaliser).

2- (meilleure méthode), tu calcules det(A - t*I), avec chaque valeur de t.

Soient C1, C2 et C3 colonnes de la matrice.

Prenons t = -1, alors det(A + I) = 0 car C1 = 2*C2.

Prenons t = 1, C1 = C3, donc det(A - I) = 0.

Prenons t = 3, C1 = -2*C2, donc det (A - 3I) = 0.

Bien évidemment, le nombre de valeurs propres de f, est inférieur ou égal à la dimension de la matrice.

Bonne soirée