Explications étape par étape:

Bonsoir, exercice classique du cours d'algèbre linéaire, il reviendra souvent, je te conseille de bien approfondir.

1-a- Soit B = (1, X, X^2) la base canonique.

f(1) = 2X + 1 (en effet, dériver un polynôme constant revient à l'annuler).

f(X) = (2X+1)*X - (X^2 - 1) = X^2 + X + 1.

f(X^2) = (2X+1)*X^2 - (X^2 - 1)*2X = X^2 + 2X.

1-b Soit a et b des réels, et P, Q un couple de polynômes de R2[X]. On vérifie que f(aP + bQ) = a*f(P) + b*f(Q).

f(aP + bQ) = (2X + 1)*(aP + bQ) - (X^2 - 1)*(aP + bQ)'

= (2X + 1)*aP + (2X + 1)*bQ - (X^2 - 1)*[aP' + bQ'] par linéarité de la dérivée.

= (2X + 1)*aP - (X^2 - 1)*aP' + (2X + 1)*bQ - (X^2 - 1)*bQ'

= a*[(2X + 1)*P - (X^2 - 1)P'] + b*[(2X + 1)*Q - (X^2 - 1)Q']

= a*f(P) + b*f(Q).

La linéarité est donc vérifiée.