Explications étape par étape:

Bonsoir, congruence c'est plus complexe, mais pas si inaccessible :

1- Soit x un entier, x^2 et (n-x)^2 sont congrus modulo n, si et seulement si il existe un entier relatif k, tel que x^2 = (n-x)^2 + kn.

Ici : (n-x)^2 = n^2 - 2nx + x^2.

La condition précédente équivaut donc à :

n^2 - 2nx + kn = 0, soit n(n - 2x + k) = 0.

En posant k = 2x - n, la condition est validée (car x et n sont des entiers).

Finalement : x^2 = (n-x)^2 [n].

2a- On utilise la définition classique de l'injectivité :

Soient x, x' € Z/nZ, c(x) = x^2 = x.x et c(x') = x'^2 = x'.x'.

Prenons n = 7, on se pose donc dans Z/7Z.

c(3) = 9 = 2 dans Z/7Z, et c(4) = 16 = 2 dans Z/7Z.

c n'est donc pas injective.

Bien évidement, elle est surjective, car pour tout élément x € Z/nZ, x^2 € Z/nZ, en vertu de la 1re question.

2b- Ici aucune difficulté : Si k = 0[7], k^2 = 0[7], si k = 1[7], k^2 = 1[7], si k = 2[7], k^2 = 4[7], si k = 3[7], k^2 = 9[7] = 2[7], si k = 4[7], k^2 = 2[7], si k = 5[7], k^2 = 4[7], si k = 6[7], k^2 = 1[7].

2c- On remarque que x^2 - 6xy + 2y^2 = (x-3y)^2 - 7y^2. Or, 7y^2 = 0[7], donc l'équation de départ équivaut à (x-3y)^2 = 7003 modulo 7 = 3[7].

Il fait donc résoudre (x-3y)^2 = 3[7].

Or, la table des carrés modulo 7 prouve qu'il n'y a aucun carré dont le reste vaut 3.

On en déduit qu'il n'y a aucune solution.