Bonjour à tous. J'aimerais savoir comment prouver que la relation d'équivalence congruence modulo n .... Pergunta de ideia deRationnel

December 2020 1 109 Report

Bonjour à tous. J'aimerais savoir comment prouver que la relation d'équivalence congruence modulo n de Z est compatible avec l'addition et la multiplication des entiers. Merci.

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francoismareau

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Bonjour,

Il suffit de revenir à la définition : $a \equiv b \pmod n \iff \exists k \in \mathbb{Z},a=b+k \cdot n$ .

- Supposons $a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ et montrons : $a+c \equiv b+d \pmod n$ .

On a par hypothèse : $\exists k,k', a=b+k \cdot n \text{ et } c=d+k' \cdot n$ .

Ainsi, par somme :

$a+c=(b+d)+\underset{\in \mathbb{Z}}{\underbrace{(k+k')}}\cdot n$

d'où : $a+c \equiv b+d \pmod n$ .

- Supposons maintenant $a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ et montrons $ac \equiv bd \pmod n$ .

On a par hypothèse : $\exists k,k', a=b+k \cdot n \text{ et } c=d+k' \cdot n$ .

Par produit : $ac=(b+k \cdot n)(d+k' \cdot n)=bd+(bk'+dk+kk') \cdot n$ .

Or, tous les termes considérés sont entiers, donc $bk'+dk+kk' \in \mathbb{Z}$ .

Ainsi : $\boxed{ac \equiv bd \pmod n}$ .

Rq : Attention ! Si les termes considérés ne sont pas entiers mais réels, le résultat sur la mutiplication ne subsiste plus. On aura :

$\forall \lambda \in \mathbb{R^*}, a \equiv b \pmod n \Rightarrow \lambda a \equiv \lambda b \pmod {\lambda n}$ .

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Rationnel Merci beaucoup à toi.

francoismareau De rien ^^

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