Bonjour ;

Exercice n° 3 .

1.

a.

1 kg de truffes est vendu à 450 € ;

donc x kg sont vendus à 450x € ;

donc les recettes hebdomadaires s'élèvent à : 450 € ;

donc : R(x) = 450x .

b.

On a : B(x) = R(x) - C(x) ;

donc : B(x) = 450x - (x³ - 60x² + 975x + 1500)

= 450x - x³ + 60x² - 975x - 1500

= - x³ + 60x² - 525x - 1500 .

2.

B ' (x) = (- x³ + 60x² - 525x - 1500) '

= - (x³) ' + 60(x²) ' - 525 (x) ' - (1500) '

= - (3x²) + 60 * (2x) - 525 * (1) - 0

= - 3x² + 120x - 525

= - 3(x² - 40x + 175) .

Résolvons tout d'abord l'équation : B(x) = 0 ;

donc :  - 3(x² - 40x + 175) = 0 ;

donc : x² - 40x + 175 = 0 ;

donc : Δ = (- 40)² - 4 * 1 * 175 = 1600 - 700 = 900 = 30² ;

donc : x1 = (40 - 30)/2 = 5 et x2 = (40 + 30)/2 = 70/2 = 35 .

On a : B ' (x) = - 3x² + 120x - 525 ;

donc B ' est une fonction polynomiale de second degré

dont le coefficient de second degré est - 3 < 0 ;

donc B ' est strictement positive pour x ∈ ]5 ; 35[ ;

donc pour x ∈ ]5 ; 35[ , B est strictement croissante .

Pour x ∈ [0 ; 5[∪]35 ; 45] B ' est strictement négative ;

donc pour x ∈ [0 ; 5[∪]35 ; 45] B est strictement décroissante .

3.

La valeur maximal de B sur [0 ; 45] est le x qui annule B ' sur

cet intervalle ; donc on a : x = 5 ou x = 35 , mais comme on a :

B(5) = - 2750 € qui n'est pas un bénéfice mais une perte ,

et B(35) = 10750 € .

Conclusion :

La quantité qu'on doit traiter chaque semaine pour réaliser le maximum

de bénéfices est x = 35 kg . Le bénéfice réalisé est : B(35) = 10750 € .