Réponse:

exercice 1

a.

le taux d'accroissement en a est donné par t(h) =

ici, a = 1

On commence par exprimer f(1+h)

f(1+h)=

(1+h)²+2(1+h) =

1+2h+h²+2+2h=

h²+4h+3

puis on calcule f(1)

f(1)=1²+2×1

f(1)=3

On peut donc exprimer le taux d'accroissement

[f(1+h)-f(1)]/h = (h²+4h+3 - 3)/h

[f(1+h)-f(1)]/h = (h²+4h)/h

[f(1+h)-f(1)]/h = h+4

le taux d'accroissement de f au point d'abscisse 1 est h+4

b.

f est derivable si la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0 est finie (i.e. est un nombre)

lim(h+4) = 4 (on fait comme si h valait 0)

h→0

Ainsi f est derivable en 1 et f'(1)=4.

exercice 2

on recommence avec g et a=0

g(0+h) = -2/(h+1)

g(0) = -2/(0+1) = -2

[g(0+h)-g(0)]/h = [-2/(h+1) - (-2) ]/h

[g(0+h)-g(0)]/h = [(-2+2(h+1))/(h+1)]/h

Pour y voir plus clair dans ces fractions on a ceci :

Le taux d'accroissement de la fonction g en 0 est 2/(h+1)

b.

lim(2/(h+1)) = 2

h→0

Donc g est derivable en 0 et g'(0)=2