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Ex 1 :

il est clair que f et g sont injectives respectivement sur N et Z

en effet, pour tout entier m il existe un unique n=m+1 entier

(on dit que N et Z sont Archimédiens)

en revanche seule g est surjective car 0 n'a pas d'antécédent par f car n+1=0 donne n=-1 non entier naturel !

h est définie sur R+* vers R

h(x)=ln(x)=y équivaut à y=e^x donc y∈R+*

ainsi pour tout réel y>0 il existe un unique x réel tel que h(x)=y

donc h est aussi bijective de R+* vers R

k est en revanche simplement injective sur R²

en effet le noyau (0,0) est restreint à x+y=0 et x-y=0

donc x=y=0 donc k^(-1)(0,0)=(0,0)

or k est non surjective car il existe (m,n) tel que m≠x+y et n≠x-y

Ex 2 :

f(n)=n+1 convient de N vers N*

g(n)=n/2 si n est pair et g(n)=-(n+1)/2 si n est impair

ainsi g est bijective de N vers Z