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Réponse :

Explications étape par étape :

■ on veut ABCD parallélogramme :

  --> on veut donc vecteur CD = BA

                              xD-5 = 1+1   ET   yD-1 = 4+1

                                   xD = 7   ET    yD = 6 .

■ E = sym(A) par rapport à C :

  --> on veut vecteur CE = AC

                    xE-5 = 5-1   ET   YE-1 = 1-4

                          xE = 9   ET   yE = -2 .

■ milieu de [ AF ] :

  x = (1-3)/2 = -2/2 = -1 = xB

  y = (4-6)/2 = -2/2 = -1 = yB

  donc B est bien le milieu de [ AF ] .

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Réponse :

1) déterminer les coordonnées des points D , E et F tels que

  - D est tel que ABCD est un parallélogramme

  soit  D(x ; y)  tel que ABCD parallélogramme ⇔ vec(AB) = vec(DC)

vec(AB) = (- 1 - 1 ; - 1 - 4) = (- 2 ; - 5)

vec(DC) = (5 - x ; 1 - y)

vec(AB) = vec(DC) ⇔ (- 2 ; - 5) = (5 - x ; 1 - y)  ⇔  - 2 = 5 - x  ⇔ x = 7

- 5 = 1 - y  ⇔ y = 1 +5  ⇔ y = 6

Donc les coordonnées de D sont : D(7 ; 6)

-  E est le symétrique de A par rapport à C

  E symétrique de A/C  ⇔ vec(AC) = vec(CE)

soit  E(x ; y)

vec(AC) = (5 - 1 ; 1 - 4) = (4 ; - 3)

vec(CE) = (x - 5 ; y - 1)

vec(AC) = vec(CE)  ⇔ (4 ; - 3) = (x - 5 ; y - 1)   ⇔ 4 = x - 5  ⇔ x = 9

⇔ - 3 = y - 1  ⇔ y = - 3 + 1 = - 2

les coordonnées de E sont : E(9 ; - 2)

2) montrer que B est le milieu de (AF)

     soit I milieu de (AF)   ⇔ I((- 3+1)/2 ; (- 6+4)/2) = (- 1 ; - 1)

comme B a pour coordonnées B(- 1 ; - 1)

on en déduit que B est le milieu de (AF)  

Explications étape par étape