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1°) multiplions toute l' inéquation par (1+t²) :

   (1-t²)(1+t²) ≤ 1 ≤ (1-t²+t4)(1+t²)

       1 - t4   ≤ 1 ≤ 1+t²-t²-t4+t4+t6

       1 - t4  ≤ 1 ≤ 1 + t6 qui est bien vérifiée

                               pour toute valeur de t .

2°) multiplions l' inégalité par x ( positif )

                   et remplaçons t par (x/√3) :

    x - x³/3 ≤ 1 / (1+ x²/3) ≤ x - x³/3 + (x5 / 9)

    x - x³/3 ≤  3 / (1+x²)   ≤ x - x³/3 + (x5 / 9)

    x - x³/3 ≤ Arctan(x)  ≤ x - x³/3 + (x5 / 9)

3°) reprenons l' inéquation :

       -x³/3 ≤ Atan(x)   - x ≤ -x³/3 + (x5 / 9)

       -1/3  ≤ (Atanx   -x)/x³ ≤ -1/3 + x²/9  

       ■ pour x tendant vers 0+ :

           Lim (Atanx   -x)/x³ = -1/3

       ■ vérif pour x = 0,001 :

          (Atan0,001   -0,001) / 0,001³ ≈ -0,333334 ;