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Réponse :

Explications étape par étape

■ Uo = 1 ; U1 = 3/2 = 1,5 ; U2 = 7/5 = 1,4 ;

    U3 = 17/12 ≈ 1,4166... ;

    U4 = 41/29 ≈ 1,4138 ; ...

■ 1 ≤ Un+1 ≤ 1,5 donne 0 ≤ 1/(1+Un) ≤ 0,5

                                     0 ≤ 1 ≤ 0,5 + Un/2      

                                         0,5 ≤ Un/2

                                             1 ≤ Un .

■ recherche de la Limite :

   L = 1 + 1/(1+L) donne L - 1 = 1/(1+L)

     donc L² - 1 = 1 donc L² = 2 d' où L = √2 .

■ ■ donc on a bien 1 ≤ Un ≤ 1,5 .

3°) Un+1 - Un = (2+Un)/(1+Un) - (Un+Un²)/(1+Un)

                     = (2-Un²)/(1+Un)

                     = (Un-1² - 2) / [ (1+Un-1) *(3+2Un-1) ]

    Un - Un-1 = (2 - Un-1²) / (1+Un-1)

    comme 1 ≤ Un-1 ≤ 1,5 --> 1/6 ≤ 1/(3+2Un-1) ≤ 1/5

    on a donc bien | Un+1 - Un | ≤ (1/4) | Un - Un-1 | .

4b) Bn = 1 + 1/(1+An)

       comme 1 ≤ An ≤ 1,5 --> 1,4 ≤ Bn ≤ 1,5

        on a bien An ≤ Bn .

4c) Bn = 1 + 1/(1+An) donne la dérivée Bn ' = -1/(1+An)²

      toujours négative donc

             la suite (Bn) est bien décroissante !

     la suite (1+An) est donc croissante

           d' où la suite (An) est bien croissante !

4d) les suites (Bn) et (An) convergent bien vers √2 .

5b) Lim Un = √2 .

5c) pour n ≥ 3 , on a déjà | (17/12) - √2 | < 0,01

                                              0,0024531 < 0,01

     donc la valeur N cherchée est N = 3 .