Bonjour à tous ! (Tle S)j'ai besoin de votre pour cet exercice car je n'y arrive pas.S'il vous plaît.... Pergunta de ideia deThamirah17

May 2019 1 181 Report

Bonjour à tous ! (Tle S)
j'ai besoin de votre pour cet exercice car je n'y arrive pas.
S'il vous plaît. .. Merci beaucoup. ..

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Stiaen

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Bonjour,

Soit la fonction $\;f\;$ définie et dérivable sur $\;[1;\;+\infty]\;$ telle que, pour tout nombre réel $\;x\;$ supérieur ou égale à 1:

$f(x)=\dfrac{1}{x}\ln(x)$

1. Démontrer que la courbe C admet un asymptote horizontale

Voir pièce-jointe

2. Déterminer la dérivée f' de la fonction f sur ]1; ∞[.

$f(x)=\dfrac{1}{x}\ln(x)\\\\\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\ln(x)\right)\\\\\\=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln(x)}{x}\right)\\\\\\=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\\\\\\u=\ln(x);\quad u'=\dfrac{1}{x};\quad v=x;\quad v'=1\\\\f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-1\times \ln(x)}{x^2}\\\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}}$

3) Étudier les variation de la fonction f sur [1; +∞]

$f'(x)=0\\\\\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}=0\Rightarrow x\in\;]0; +\infty[\\\\1-\ln(x)=0\\-\ln(x)=-1\\\ln(x)=1\\\boxed{x=e}$

$\begin{array}{|c|ccccccc|}x&1&&&e&&&+\infty\\&&&&&&&\\f'(x)&&+&&0&&-&\\&&&&&&&\\f(x)&0&\nearrow&&\dfrac{1}{e}&&\searrow&0\end{array}$

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