Réponse :

Explications étape par étape

Bonsoir, concernant la question préliminaire, simple équation diophantienne à résoudre. Par Bézout, cette équation admet au moins une solution.

Une solution particulière est : (x0, y0) = (3, 2).

Par conséquent, si (x0, y0) est solution, alors il vérifie : 5x - 7y = 5x0 - 7y0 = 1.

qui équivaut à 5(x-x0) = 7(y-y0).

7 divise donc 5(x-x0). 5 et 7 étant premiers entre eux, en vertu du théorème de Gauss, 7 divise x-x0. Ainsi, il existe un entier relatif k, tel que x - x0 = 7k d'où x = x0 + 7k = 3 + 7k.

Ensuite, on remplace x par sa valeur dans l'équation d'origine :

5(3+7k-3) = 7(y-y0) d'où 5*7k = 7(y-y0).

En divisant par 7 : 5k = y-y0 d'où y = y0 + 5k = 2 + 5k.

Conclusion : L'ensemble des solutions S recherché est :

S = {7k + 3 ; 5k + 2} k € Z.

1- En premier lieu, on va noter 5barre = 5B. Déjà, ton groupe, c'est plutôt un anneau, erreur d'énoncé ? On va faire avec. 5B est clairement inversible dans Z/7Z* car 5 et 7 sont premiers entre eux. Afin de déterminer cet inverse, on résout l'équation de Bézout associée : 5x + 7y = 1. Il suffit de prendre astucieusement l'opposé de certaines solutions obtenues au dessus :

x0 = 3, et y0 = -2 fonctionne. Ainsi, l'inverse de 5B dans Z/7Z* est 3B.

2- Soit t € Z, t est inversible dans Z/7Z* si et seulement t est premier avec 7.

Pour trouver cet inverse, il suffit de trouver r € N, tel que tr + 7y = 1, avec y € Z.

Listons les éléments constitutifs du groupe Z/7Z*, muni de la loi x :

Z/7Z* = {1,2,3,4,5,6}. Les éléments suivants ces nombres, peuvent être obtenus par opérations élémentaires.

Soit r € Z, alors l'inverse de t dans Z/7Z*, vaut r, tel que t x r = 1 (élément neutre de Z/7Z*).

--> t = 1 fournit r = 1.

--> t = 2 fournit r = 4.

--> t = 3 fournit r = 5.

--> t = 4 fournit r = 2.

--> t = 5 fournit r = 3.

--> t = 6 fournit r = 6.

Conclusion : Les éléments égaux à leurs inverses sont 1B et 6B.

3- Ici, c'est un peu plus complexe. On rappelle que les éléments de Z/7Z* sont : {1,2,3,4,5,6}. Le groupe engendré par 4B, c'est le plus petit sous groupe, engendré par 4B. Ainsi, on va prendre l'élément 4, et l'élever à toutes les puissances, jusqu'à ce qu'on trouve un entier p, tel que 4^p soit congru à 1 modulo 7. Cet entier p, indiquera le nombre d'éléments que l'on prendra, au sein de l'anneau Z/7Z*.

On remarque 4^3 = 1 [7].

Ainsi, le sous groupe engendré par 4B vaut :

< 4B > = {1,2,3}. L'ordre étant le cardinal du sous groupe, il vaut 3 ici.

4a- Z/7Z* est cyclique, si et seulement si l'un des éléments de Z/7Z* engendre à lui seul Z/7Z*. On étudie ainsi tous les sous groupes engendrés, des éléments de Z/7Z* :

< 1B > = {1}.

< 2B > = {1,2,3}.

< 3B > = {1,2,3,4,5,6} car 3^6 = 1 [7]. On peut s'arrêter ici, le caractère cyclique est prouvé car < 3B > engendre Z/7Z*.

4b- Listons les sous-groupes engendrés de Z/7Z*, en continuité avec le calcul du dessus : <4B> = {1,2,3}, <5B> = {1,2,3,4,5,6} et <6B> = {1,2}.

Ainsi, Z/7Z* possède un élément d'ordre 1, 2 éléments d'ordre 3, 2 éléments d'ordre 6, 1 élément d'ordre 2. Z/7Z* étant cyclique, tous les sous groupes engendrés différents de 3B et 5B sont inclus dans 3B = 5B.

Ainsi, Z/7Z* possède 6 générateurs.